Precalcolo Esempi

$f (x) = e^{x - 1} + 3$ , $[1, 5]$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = e^{x - 1} + 3$ come un'equazione.

$y = e^{x - 1} + 3$

Passaggio 2

Sostituisci usando la formula del tasso medio di variazione.

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Passaggio 2.1

È possibile trovare il tasso medio di variazione di una funzione calcolando la variazione dei valori $y$ dei due punti diviso per la variazione dei valori $x$ dei due punti.

$\frac{f (5) - f (1)}{(5) - (1)}$

Passaggio 2.2

Sostituisci l'equazione $y = e^{x - 1} + 3$ a $f (5)$ e $f (1)$ , sostituendo $x$ nella funzione con il valore $x$ corrispondente.

$\frac{(e^{(5) - 1} + 3) - (e^{(1) - 1} + 3)}{(5) - (1)}$

Passaggio 3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.1.1

Sottrai $1$ da $5$ .

$\frac{e^{4} + 3 - (e^{1 - 1} + 3)}{5 - (1)}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{e^{4} + 3 - (e^{0} + 3)}{5 - (1)}$

Passaggio 3.1.2.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{e^{4} + 3 - (1 + 3)}{5 - (1)}$

Passaggio 3.1.3

Somma $1$ e $3$ .

$\frac{e^{4} + 3 - 1 \cdot 4}{5 - (1)}$

Passaggio 3.1.4

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{e^{4} + 3 - 4}{5 - (1)}$

Passaggio 3.1.5

Sottrai $4$ da $3$ .

$\frac{e^{4} - 1}{5 - (1)}$

Passaggio 3.1.6

Riscrivi $e^{4} - 1$ in una forma fattorizzata.

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Passaggio 3.1.6.1

Riscrivi $e^{4}$ come ${(e^{2})}^{2}$ .

$\frac{{(e^{2})}^{2} - 1}{5 - (1)}$

Passaggio 3.1.6.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{{(e^{2})}^{2} - 1^{2}}{5 - (1)}$

Passaggio 3.1.6.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = e^{2}$ e $b = 1$ .

$\frac{(e^{2} + 1) (e^{2} - 1)}{5 - (1)}$

Passaggio 3.1.6.4

Semplifica.

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Passaggio 3.1.6.4.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{(e^{2} + 1) (e^{2} - 1^{2})}{5 - (1)}$

Passaggio 3.1.6.4.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = e$ e $b = 1$ .

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{5 - (1)}$

Passaggio 3.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{5 - 1}$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $1$ da $5$ .

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{4}$