Precalcolo Esempi

What is the average rate of change of $g (x) = \frac{2}{x + 3}$ over the interval $1 \leq x \leq 3$ ?

Passaggio 1

Scrivi $g (x) = \frac{2}{x + 3}$ come un'equazione.

$y = \frac{2}{x + 3}$

Passaggio 2

Sostituisci usando la formula del tasso medio di variazione.

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Passaggio 2.1

È possibile trovare il tasso medio di variazione di una funzione calcolando la variazione dei valori $y$ dei due punti diviso per la variazione dei valori $x$ dei due punti.

$\frac{f (3) - f (1)}{(3) - (1)}$

Passaggio 2.2

Sostituisci l'equazione $y = \frac{2}{x + 3}$ a $f (3)$ e $f (1)$ , sostituendo $x$ nella funzione con il valore $x$ corrispondente.

$\frac{(\frac{2}{(3) + 3}) - (\frac{2}{(1) + 3})}{(3) - (1)}$

Passaggio 3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.1

Moltiplica il numeratore e il denominatore della frazione per $(3 + 3) (1 + 3)$ .

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Passaggio 3.1.1

Moltiplica $\frac{\frac{2}{3 + 3} - \frac{2}{1 + 3}}{3 - (1)}$ per $\frac{(3 + 3) (1 + 3)}{(3 + 3) (1 + 3)}$ .

$\frac{(3 + 3) (1 + 3)}{(3 + 3) (1 + 3)} \cdot \frac{\frac{2}{3 + 3} - \frac{2}{1 + 3}}{3 - (1)}$

Passaggio 3.1.2

Combina.

$\frac{(3 + 3) (1 + 3) (\frac{2}{3 + 3} - \frac{2}{1 + 3})}{(3 + 3) (1 + 3) (3 - (1))}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(3 + 3) (1 + 3) \frac{2}{3 + 3} + (3 + 3) (1 + 3) (- \frac{2}{1 + 3})}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Passaggio 3.3

Semplifica cancellando.

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Passaggio 3.3.1

Elimina il fattore comune di $3 + 3$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(3 + 3) (1 + 3) \frac{2}{3 + 3} + (3 + 3) (1 + 3) (- \frac{2}{1 + 3})}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Passaggio 3.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(1 + 3) \cdot 2 + (3 + 3) (1 + 3) (- \frac{2}{1 + 3})}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Passaggio 3.3.2

Elimina il fattore comune di $1 + 3$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2}{1 + 3}$ nel numeratore.

$\frac{(1 + 3) \cdot 2 + (3 + 3) (1 + 3) \frac{- 2}{1 + 3}}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Passaggio 3.3.2.2

Scomponi $1 + 3$ da $(3 + 3) (1 + 3)$ .

$\frac{(1 + 3) \cdot 2 + (1 + 3) (3 + 3) \frac{- 2}{1 + 3}}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Passaggio 3.3.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{(1 + 3) \cdot 2 + (1 + 3) (3 + 3) \frac{- 2}{1 + 3}}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Passaggio 3.3.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(1 + 3) \cdot 2 + (3 + 3) \cdot - 2}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Passaggio 3.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.4.1

Somma $1$ e $3$ .

$\frac{4 \cdot 2 + (3 + 3) \cdot - 2}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{8 + (3 + 3) \cdot - 2}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Passaggio 3.4.3

Somma $3$ e $3$ .

$\frac{8 + 6 \cdot - 2}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Passaggio 3.4.4

Moltiplica $6$ per $- 2$ .

$\frac{8 - 12}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Passaggio 3.4.5

Sottrai $12$ da $8$ .

$\frac{- 4}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Passaggio 3.5

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.5.1

Somma $3$ e $3$ .

$\frac{- 4}{6 (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Passaggio 3.5.2

Somma $1$ e $3$ .

$\frac{- 4}{6 \cdot 4 \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Passaggio 3.5.3

Moltiplica $6 \cdot 4 \cdot 3$ .

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Passaggio 3.5.3.1

Moltiplica $6$ per $4$ .

$\frac{- 4}{24 \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Passaggio 3.5.3.2

Moltiplica $24$ per $3$ .

$\frac{- 4}{72 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Passaggio 3.5.4

Somma $3$ e $3$ .

$\frac{- 4}{72 + 6 (1 + 3) (- (1))}$

Passaggio 3.5.5

Somma $1$ e $3$ .

$\frac{- 4}{72 + 6 \cdot 4 (- (1))}$

Passaggio 3.5.6

Moltiplica $6 \cdot 4 (- (1))$ .

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Passaggio 3.5.6.1

Moltiplica $6$ per $4$ .

$\frac{- 4}{72 + 24 (- (1))}$

Passaggio 3.5.6.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{- 4}{72 + 24 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5.6.3

Moltiplica $24$ per $- 1$ .

$\frac{- 4}{72 - 24}$

Passaggio 3.5.7

Sottrai $24$ da $72$ .

$\frac{- 4}{48}$

Passaggio 3.6

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 3.6.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $48$ .

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Passaggio 3.6.1.1

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$\frac{4 (- 1)}{48}$

Passaggio 3.6.1.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.6.1.2.1

Scomponi $4$ da $48$ .

$\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 12}$

Passaggio 3.6.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 12}$

Passaggio 3.6.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{12}$

Passaggio 3.6.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{12}$