Precalcolo Esempi

$f (x) = 3 x \ln (x)$ ; $[1, e^{2}]$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = 3 x \ln (x)$ come un'equazione.

$y = 3 x \ln (x)$

Passaggio 2

Sostituisci usando la formula del tasso medio di variazione.

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Passaggio 2.1

È possibile trovare il tasso medio di variazione di una funzione calcolando la variazione dei valori $y$ dei due punti diviso per la variazione dei valori $x$ dei due punti.

$\frac{f (e^{2}) - f (1)}{(e^{2}) - (1)}$

Passaggio 2.2

Sostituisci l'equazione $y = 3 x \ln (x)$ a $f (e^{2})$ e $f (1)$ , sostituendo $x$ nella funzione con il valore $x$ corrispondente.

$\frac{(3 (e^{2}) \ln (e^{2})) - (3 (1) \ln (1))}{(e^{2}) - (1)}$

Passaggio 3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.1.1

Usa le regole del logaritmo per togliere $2$ dall'esponente.

$\frac{3 e^{2} (2 \ln (e)) - 1 \cdot 3 \cdot 1 \ln (1)}{e^{2} - (1)}$

Passaggio 3.1.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$\frac{3 e^{2} (2 \cdot 1) - 1 \cdot 3 \cdot 1 \ln (1)}{e^{2} - (1)}$

Passaggio 3.1.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{3 e^{2} \cdot 2 - 1 \cdot 3 \cdot 1 \ln (1)}{e^{2} - (1)}$

Passaggio 3.1.4

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{6 e^{2} - 1 \cdot 3 \cdot 1 \ln (1)}{e^{2} - (1)}$

Passaggio 3.1.5

Moltiplica $- 1 \cdot 3 \cdot 1$ .

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Passaggio 3.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{6 e^{2} - 3 \cdot 1 \ln (1)}{e^{2} - (1)}$

Passaggio 3.1.5.2

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$\frac{6 e^{2} - 3 \ln (1)}{e^{2} - (1)}$

Passaggio 3.1.6

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$\frac{6 e^{2} - 3 \cdot 0}{e^{2} - (1)}$

Passaggio 3.1.7

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$\frac{6 e^{2} + 0}{e^{2} - (1)}$

Passaggio 3.1.8

Somma $6 e^{2}$ e $0$ .

$\frac{6 e^{2}}{e^{2} - (1)}$

Passaggio 3.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{6 e^{2}}{e^{2} - 1^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = e$ e $b = 1$ .

$\frac{6 e^{2}}{(e + 1) (e - 1)}$