Precalcolo Esempi

$g (x) = \frac{5}{x - 1} + 2$

Passaggio 1

Considera la formula del rapporto incrementale.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Passaggio 2

Trova i componenti della definizione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Risolvi la funzione per $x = x + h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $x + h$ nell'espressione.

$g (x + h) = \frac{5}{(x + h) - 1} + 2$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x + h - 1}{x + h - 1}$ .

$g (x + h) = \frac{5}{x + h - 1} + \frac{2 (x + h - 1)}{x + h - 1}$

Passaggio 2.1.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$g (x + h) = \frac{5 + 2 (x + h - 1)}{x + h - 1}$

Passaggio 2.1.2.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$g (x + h) = \frac{5 + 2 x + 2 h + 2 \cdot - 1}{x + h - 1}$

Passaggio 2.1.2.3.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$g (x + h) = \frac{5 + 2 x + 2 h - 2}{x + h - 1}$

Passaggio 2.1.2.3.3

Sottrai $2$ da $5$ .

$g (x + h) = \frac{2 x + 2 h + 3}{x + h - 1}$

Passaggio 2.1.2.4

La risposta finale è $\frac{2 x + 2 h + 3}{x + h - 1}$ .

$\frac{2 x + 2 h + 3}{x + h - 1}$

Passaggio 2.2

Trova i componenti della definizione.

$g (x + h) = \frac{2 x + 2 h + 3}{x + h - 1}$

$g (x) = \frac{2 x + 3}{x - 1}$

$g (x + h) = \frac{2 x + 2 h + 3}{x + h - 1}$

$g (x) = \frac{2 x + 3}{x - 1}$

Passaggio 3

Collega i componenti.

$\frac{g (x + h) - g x}{h} = \frac{\frac{2 x + 2 h + 3}{x + h - 1} - (\frac{2 x + 3}{x - 1})}{h}$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Per scrivere $\frac{2 x + 2 h + 3}{x + h - 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{\frac{2 x + 2 h + 3}{x + h - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{2 x + 3}{x - 1}}{h}$

Passaggio 4.1.2

Per scrivere $- \frac{2 x + 3}{x - 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x + h - 1}{x + h - 1}$ .

$\frac{\frac{2 x + 2 h + 3}{x + h - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{2 x + 3}{x - 1} \cdot \frac{x + h - 1}{x + h - 1}}{h}$

Passaggio 4.1.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(x + h - 1) (x - 1)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Moltiplica $\frac{2 x + 2 h + 3}{x + h - 1}$ per $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{\frac{(2 x + 2 h + 3) (x - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)} - \frac{2 x + 3}{x - 1} \cdot \frac{x + h - 1}{x + h - 1}}{h}$

Passaggio 4.1.3.2

Moltiplica $\frac{2 x + 3}{x - 1}$ per $\frac{x + h - 1}{x + h - 1}$ .

$\frac{\frac{(2 x + 2 h + 3) (x - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)} - \frac{(2 x + 3) (x + h - 1)}{(x - 1) (x + h - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.3.3

Riordina i fattori di $(x - 1) (x + h - 1)$ .

$\frac{\frac{(2 x + 2 h + 3) (x - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)} - \frac{(2 x + 3) (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{(2 x + 2 h + 3) (x - 1) - (2 x + 3) (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5

Riscrivi $\frac{(2 x + 2 h + 3) (x - 1) - (2 x + 3) (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Espandi $(2 x + 2 h + 3) (x - 1)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$\frac{\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 2 h x + 2 h \cdot - 1 + 3 x + 3 \cdot - 1 - (2 x + 3) (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.5.2.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.2.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{\frac{2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 + 2 h x + 2 h \cdot - 1 + 3 x + 3 \cdot - 1 - (2 x + 3) (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.2.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{\frac{2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 + 2 h x + 2 h \cdot - 1 + 3 x + 3 \cdot - 1 - (2 x + 3) (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.2.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{\frac{2 x^{2} - 2 x + 2 h x + 2 h \cdot - 1 + 3 x + 3 \cdot - 1 - (2 x + 3) (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.2.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{\frac{2 x^{2} - 2 x + 2 h x - 2 h + 3 x + 3 \cdot - 1 - (2 x + 3) (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.2.4

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{\frac{2 x^{2} - 2 x + 2 h x - 2 h + 3 x - 3 - (2 x + 3) (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.3

Somma $- 2 x$ e $3 x$ .

$\frac{\frac{2 x^{2} + x + 2 h x - 2 h - 3 - (2 x + 3) (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\frac{2 x^{2} + x + 2 h x - 2 h - 3 + (- (2 x) - 1 \cdot 3) (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{\frac{2 x^{2} + x + 2 h x - 2 h - 3 + (- 2 x - 1 \cdot 3) (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.6

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{\frac{2 x^{2} + x + 2 h x - 2 h - 3 + (- 2 x - 3) (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.7

Espandi $(- 2 x - 3) (x + h - 1)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$\frac{\frac{2 x^{2} + x + 2 h x - 2 h - 3 - 2 x \cdot x - 2 x h - 2 x \cdot - 1 - 3 x - 3 h - 3 \cdot - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.8

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.8.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.8.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{\frac{2 x^{2} + x + 2 h x - 2 h - 3 - 2 (x \cdot x) - 2 x h - 2 x \cdot - 1 - 3 x - 3 h - 3 \cdot - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.8.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{\frac{2 x^{2} + x + 2 h x - 2 h - 3 - 2 x^{2} - 2 x h - 2 x \cdot - 1 - 3 x - 3 h - 3 \cdot - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.8.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\frac{\frac{2 x^{2} + x + 2 h x - 2 h - 3 - 2 x^{2} - 2 x h + 2 x - 3 x - 3 h - 3 \cdot - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.8.3

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$\frac{\frac{2 x^{2} + x + 2 h x - 2 h - 3 - 2 x^{2} - 2 x h + 2 x - 3 x - 3 h + 3}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.9

Sottrai $3 x$ da $2 x$ .

$\frac{\frac{2 x^{2} + x + 2 h x - 2 h - 3 - 2 x^{2} - 2 x h - x - 3 h + 3}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.10

Sottrai $2 x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{\frac{x + 2 h x - 2 h - 3 + 0 - 2 x h - x - 3 h + 3}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.11

Somma $x$ e $0$ .

$\frac{\frac{x + 2 h x - 2 h - 3 - 2 x h - x - 3 h + 3}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.12

Sottrai $x$ da $x$ .

$\frac{\frac{2 h x - 2 h - 3 - 2 x h + 0 - 3 h + 3}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.13

Sottrai $2 x h$ da $2 h x$ .

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Passaggio 4.1.5.13.1

Sposta $h$ .

$\frac{\frac{- 2 h - 3 + 2 x h - 2 x h + 0 - 3 h + 3}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.13.2

Sottrai $2 x h$ da $2 x h$ .

$\frac{\frac{- 2 h - 3 + 0 + 0 - 3 h + 3}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.14

Somma $- 2 h$ e $0$ .

$\frac{\frac{- 2 h - 3 + 0 - 3 h + 3}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.15

Somma $- 2 h$ e $0$ .

$\frac{\frac{- 2 h - 3 - 3 h + 3}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.16

Sottrai $3 h$ da $- 2 h$ .

$\frac{\frac{- 5 h - 3 + 3}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.17

Somma $- 3$ e $3$ .

$\frac{\frac{- 5 h + 0}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.18

Somma $- 5 h$ e $0$ .

$\frac{\frac{- 5 h}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{- \frac{5 h}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{5 h}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Passaggio 4.3

Elimina il fattore comune di $h$ .

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Passaggio 4.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{5 h}{(x + h - 1) (x - 1)}$ nel numeratore.

$\frac{- 5 h}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Passaggio 4.3.2

Scomponi $h$ da $- 5 h$ .

$\frac{h \cdot - 5}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Passaggio 4.3.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{h \cdot - 5}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Passaggio 4.3.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 5}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Passaggio 4.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{5}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Passaggio 5