Precalcolo Esempi

$f (x) = 4 e^{x}$ , $[- 2, 2]$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = 4 e^{x}$ come un'equazione.

$y = 4 e^{x}$

Passaggio 2

Sostituisci usando la formula del tasso medio di variazione.

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Passaggio 2.1

È possibile trovare il tasso medio di variazione di una funzione calcolando la variazione dei valori $y$ dei due punti diviso per la variazione dei valori $x$ dei due punti.

$\frac{f (2) - f (- 2)}{(2) - (- 2)}$

Passaggio 2.2

Sostituisci l'equazione $y = 4 e^{x}$ a $f (2)$ e $f (- 2)$ , sostituendo $x$ nella funzione con il valore $x$ corrispondente.

$\frac{(4 e^{2}) - (4 e^{- 2})}{(2) - (- 2)}$

Passaggio 3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.1.1

Riscrivi $4 e^{2}$ come ${(2 e)}^{2}$ .

$\frac{{(2 e)}^{2} - 1 \cdot 4 e^{- 2}}{2 - (- 2)}$

Passaggio 3.1.2

Riscrivi $4 e^{- 2}$ come ${(2 e^{- 1})}^{2}$ .

$\frac{{(2 e)}^{2} - {(2 e^{- 1})}^{2}}{2 - (- 2)}$

Passaggio 3.1.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 2 e$ e $b = 2 e^{- 1}$ .

$\frac{(2 e + 2 e^{- 1}) (2 e - (2 e^{- 1}))}{2 - (- 2)}$

Passaggio 3.1.4

Semplifica.

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Passaggio 3.1.4.1

Scomponi $2$ da $2 e + 2 e^{- 1}$ .

$\frac{2 (e + e^{- 1}) (2 e - (2 e^{- 1}))}{2 - (- 2)}$

Passaggio 3.1.4.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 (e + \frac{1}{e}) (2 e - (2 e^{- 1}))}{2 - (- 2)}$

Passaggio 3.1.4.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{2 (e + \frac{1}{e}) (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

Passaggio 3.1.5

Per scrivere $e$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{e}{e}$ .

$\frac{2 (\frac{e e}{e} + \frac{1}{e}) (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

Passaggio 3.1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 \frac{e e + 1}{e} (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

Passaggio 3.1.7

Moltiplica $e e$ .

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Passaggio 3.1.7.1

Eleva $e$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 \frac{e^{1} e + 1}{e} (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

Passaggio 3.1.7.2

Eleva $e$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 \frac{e^{1} e^{1} + 1}{e} (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

Passaggio 3.1.7.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 \frac{e^{1 + 1} + 1}{e} (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

Passaggio 3.1.7.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

Passaggio 3.1.8

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.8.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} (2 e - 2 \frac{1}{e})}{2 - (- 2)}$

Passaggio 3.1.8.2

$- 2$ e $\frac{1}{e}$ .

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} (2 e + \frac{- 2}{e})}{2 - (- 2)}$

Passaggio 3.1.8.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} (2 e - \frac{2}{e})}{2 - (- 2)}$

Passaggio 3.1.9

Per scrivere $2 e$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{e}{e}$ .

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} (\frac{2 e e}{e} - \frac{2}{e})}{2 - (- 2)}$

Passaggio 3.1.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} \frac{2 e e - 2}{e}}{2 - (- 2)}$

Passaggio 3.1.11

Moltiplica $2 e e$ .

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Passaggio 3.1.11.1

Eleva $e$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} \frac{2 (e^{1} e) - 2}{e}}{2 - (- 2)}$

Passaggio 3.1.11.2

Eleva $e$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} \frac{2 (e^{1} e^{1}) - 2}{e}}{2 - (- 2)}$

Passaggio 3.1.11.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} \frac{2 e^{1 + 1} - 2}{e}}{2 - (- 2)}$

Passaggio 3.1.11.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} \frac{2 e^{2} - 2}{e}}{2 - (- 2)}$

Passaggio 3.1.12

Raccogli gli esponenti.

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Passaggio 3.1.12.1

$2$ e $\frac{e^{2} + 1}{e}$ .

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1)}{e} \cdot \frac{2 e^{2} - 2}{e}}{2 - (- 2)}$

Passaggio 3.1.12.2

Moltiplica $\frac{2 (e^{2} + 1)}{e}$ per $\frac{2 e^{2} - 2}{e}$ .

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e e}}{2 - (- 2)}$

Passaggio 3.1.12.3

Eleva $e$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{1} e}}{2 - (- 2)}$

Passaggio 3.1.12.4

Eleva $e$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{1} e^{1}}}{2 - (- 2)}$

Passaggio 3.1.12.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{1 + 1}}}{2 - (- 2)}$

Passaggio 3.1.12.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{2}}}{2 - (- 2)}$

Passaggio 3.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{2}}}{2 + 2}$

Passaggio 3.2.2

Somma $2$ e $2$ .

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{2}}}{4}$

Passaggio 3.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{2}} \cdot \frac{1}{4}$

Passaggio 3.4

Semplifica i termini.

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Passaggio 3.4.1

Combina.

$\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2) \cdot 1}{e^{2} \cdot 4}$

Passaggio 3.4.2

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

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Passaggio 3.4.2.1

Scomponi $2$ da $2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2) \cdot 1$ .

$\frac{2 (((e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)) \cdot 1)}{e^{2} \cdot 4}$

Passaggio 3.4.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.4.2.2.1

Scomponi $2$ da $e^{2} \cdot 4$ .

$\frac{2 (((e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)) \cdot 1)}{2 (e^{2} \cdot 2)}$

Passaggio 3.4.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (((e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)) \cdot 1)}{2 (e^{2} \cdot 2)}$

Passaggio 3.4.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{((e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)) \cdot 1}{e^{2} \cdot 2}$

Passaggio 3.4.3

Elimina il fattore comune di $2 e^{2} - 2$ e $2$ .

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Passaggio 3.4.3.1

Scomponi $2$ da $((e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)) \cdot 1$ .

$\frac{2 (((e^{2} + 1) (e^{2} - 1)) \cdot 1)}{e^{2} \cdot 2}$

Passaggio 3.4.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.4.3.2.1

Scomponi $2$ da $e^{2} \cdot 2$ .

$\frac{2 (((e^{2} + 1) (e^{2} - 1)) \cdot 1)}{2 \cdot e^{2}}$

Passaggio 3.4.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (((e^{2} + 1) (e^{2} - 1)) \cdot 1)}{2 \cdot e^{2}}$

Passaggio 3.4.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{((e^{2} + 1) (e^{2} - 1)) \cdot 1}{e^{2}}$

Passaggio 3.4.4

Moltiplica $e^{2} + 1$ per $1$ .

$\frac{(e^{2} + 1) (e^{2} - 1)}{e^{2}}$

Passaggio 3.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.5.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{(e^{2} + 1) (e^{2} - 1^{2})}{e^{2}}$

Passaggio 3.5.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = e$ e $b = 1$ .

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{2}}$