Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{x + 8}{x - 3}$

Passaggio 1

Considera la formula del rapporto incrementale.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Passaggio 2

Trova i componenti della definizione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Risolvi la funzione per $x = x + h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $x + h$ nell'espressione.

$f (x + h) = \frac{(x + h) + 8}{(x + h) - 3}$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (x + h) = \frac{x + h + 8}{x + h - 3}$

Passaggio 2.1.2.2

La risposta finale è $\frac{x + h + 8}{x + h - 3}$ .

$\frac{x + h + 8}{x + h - 3}$

Passaggio 2.2

Trova i componenti della definizione.

$f (x + h) = \frac{x + h + 8}{x + h - 3}$

$f (x) = \frac{x + 8}{x - 3}$

$f (x + h) = \frac{x + h + 8}{x + h - 3}$

$f (x) = \frac{x + 8}{x - 3}$

Passaggio 3

Collega i componenti.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{x + h + 8}{x + h - 3} - (\frac{x + 8}{x - 3})}{h}$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Per scrivere $\frac{x + h + 8}{x + h - 3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{\frac{x + h + 8}{x + h - 3} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{x + 8}{x - 3}}{h}$

Passaggio 4.1.2

Per scrivere $- \frac{x + 8}{x - 3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x + h - 3}{x + h - 3}$ .

$\frac{\frac{x + h + 8}{x + h - 3} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{x + 8}{x - 3} \cdot \frac{x + h - 3}{x + h - 3}}{h}$

Passaggio 4.1.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(x + h - 3) (x - 3)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 4.1.3.1

Moltiplica $\frac{x + h + 8}{x + h - 3}$ per $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{\frac{(x + h + 8) (x - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)} - \frac{x + 8}{x - 3} \cdot \frac{x + h - 3}{x + h - 3}}{h}$

Passaggio 4.1.3.2

Moltiplica $\frac{x + 8}{x - 3}$ per $\frac{x + h - 3}{x + h - 3}$ .

$\frac{\frac{(x + h + 8) (x - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)} - \frac{(x + 8) (x + h - 3)}{(x - 3) (x + h - 3)}}{h}$

Passaggio 4.1.3.3

Riordina i fattori di $(x - 3) (x + h - 3)$ .

$\frac{\frac{(x + h + 8) (x - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)} - \frac{(x + 8) (x + h - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Passaggio 4.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{(x + h + 8) (x - 3) - (x + 8) (x + h - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Passaggio 4.1.5

Riscrivi $\frac{(x + h + 8) (x - 3) - (x + 8) (x + h - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}$ in una forma fattorizzata.

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Passaggio 4.1.5.1

Espandi $(x + h + 8) (x - 3)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$\frac{\frac{x \cdot x + x \cdot - 3 + h x + h \cdot - 3 + 8 x + 8 \cdot - 3 - (x + 8) (x + h - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.5.2.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + x \cdot - 3 + h x + h \cdot - 3 + 8 x + 8 \cdot - 3 - (x + 8) (x + h - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.2.2

Sposta $- 3$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{\frac{x^{2} - 3 \cdot x + h x + h \cdot - 3 + 8 x + 8 \cdot - 3 - (x + 8) (x + h - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.2.3

Sposta $- 3$ alla sinistra di $h$ .

$\frac{\frac{x^{2} - 3 x + h x - 3 \cdot h + 8 x + 8 \cdot - 3 - (x + 8) (x + h - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.2.4

Moltiplica $8$ per $- 3$ .

$\frac{\frac{x^{2} - 3 x + h x - 3 h + 8 x - 24 - (x + 8) (x + h - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.3

Somma $- 3 x$ e $8 x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 5 x + h x - 3 h - 24 - (x + 8) (x + h - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\frac{x^{2} + 5 x + h x - 3 h - 24 + (- x - 1 \cdot 8) (x + h - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.5

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 5 x + h x - 3 h - 24 + (- x - 8) (x + h - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.6

Espandi $(- x - 8) (x + h - 3)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$\frac{\frac{x^{2} + 5 x + h x - 3 h - 24 - x \cdot x - x h - x \cdot - 3 - 8 x - 8 h - 8 \cdot - 3}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.7

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.5.7.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.1.5.7.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 5 x + h x - 3 h - 24 - (x \cdot x) - x h - x \cdot - 3 - 8 x - 8 h - 8 \cdot - 3}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.7.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 5 x + h x - 3 h - 24 - x^{2} - x h - x \cdot - 3 - 8 x - 8 h - 8 \cdot - 3}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.7.2

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 5 x + h x - 3 h - 24 - x^{2} - x h + 3 x - 8 x - 8 h - 8 \cdot - 3}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.7.3

Moltiplica $- 8$ per $- 3$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 5 x + h x - 3 h - 24 - x^{2} - x h + 3 x - 8 x - 8 h + 24}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.8

Sottrai $8 x$ da $3 x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 5 x + h x - 3 h - 24 - x^{2} - x h - 5 x - 8 h + 24}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.9

Sottrai $x^{2}$ da $x^{2}$ .

$\frac{\frac{5 x + h x - 3 h - 24 + 0 - x h - 5 x - 8 h + 24}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.10

Somma $5 x$ e $0$ .

$\frac{\frac{5 x + h x - 3 h - 24 - x h - 5 x - 8 h + 24}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.11

Sottrai $5 x$ da $5 x$ .

$\frac{\frac{h x - 3 h - 24 - x h + 0 - 8 h + 24}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.12

Sottrai $x h$ da $h x$ .

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Passaggio 4.1.5.12.1

Riordina $h$ e $x$ .

$\frac{\frac{- 3 h - 24 + x h - x h + 0 - 8 h + 24}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.12.2

Sottrai $x h$ da $x h$ .

$\frac{\frac{- 3 h - 24 + 0 + 0 - 8 h + 24}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.13

Somma $- 3 h$ e $0$ .

$\frac{\frac{- 3 h - 24 + 0 - 8 h + 24}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.14

Somma $- 3 h$ e $0$ .

$\frac{\frac{- 3 h - 24 - 8 h + 24}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.15

Sottrai $8 h$ da $- 3 h$ .

$\frac{\frac{- 11 h - 24 + 24}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.16

Somma $- 24$ e $24$ .

$\frac{\frac{- 11 h + 0}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.17

Somma $- 11 h$ e $0$ .

$\frac{\frac{- 11 h}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Passaggio 4.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{- \frac{11 h}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Passaggio 4.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{11 h}{(x + h - 3) (x - 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Passaggio 4.3

Elimina il fattore comune di $h$ .

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Passaggio 4.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{11 h}{(x + h - 3) (x - 3)}$ nel numeratore.

$\frac{- 11 h}{(x + h - 3) (x - 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Passaggio 4.3.2

Scomponi $h$ da $- 11 h$ .

$\frac{h \cdot - 11}{(x + h - 3) (x - 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Passaggio 4.3.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{h \cdot - 11}{(x + h - 3) (x - 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Passaggio 4.3.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 11}{(x + h - 3) (x - 3)}$

Passaggio 4.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{11}{(x + h - 3) (x - 3)}$

Passaggio 5