Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}$ , $1 \leq x \leq 3$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}$ come un'equazione.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}$

Passaggio 2

Sostituisci usando la formula del tasso medio di variazione.

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Passaggio 2.1

È possibile trovare il tasso medio di variazione di una funzione calcolando la variazione dei valori $y$ dei due punti diviso per la variazione dei valori $x$ dei due punti.

$\frac{f (3) - f (1)}{(3) - (1)}$

Passaggio 2.2

Sostituisci l'equazione $y = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}$ a $f (3)$ e $f (1)$ , sostituendo $x$ nella funzione con il valore $x$ corrispondente.

$\frac{(\frac{\sqrt{{(3)}^{2} - 1}}{3}) - (\frac{\sqrt{{(1)}^{2} - 1}}{1})}{(3) - (1)}$

Passaggio 3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.1

Dividi $\sqrt{{(1)}^{2} - 1}$ per $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{{(3)}^{2} - 1}}{3} - \sqrt{{(1)}^{2} - 1}}{(3) - (1)}$

Passaggio 3.2

Moltiplica il numeratore e il denominatore della frazione per $3$ .

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Passaggio 3.2.1

Moltiplica $\frac{\frac{\sqrt{3^{2} - 1}}{3} - \sqrt{1^{2} - 1}}{3 - (1)}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{\sqrt{3^{2} - 1}}{3} - \sqrt{1^{2} - 1}}{3 - (1)}$

Passaggio 3.2.2

Combina.

$\frac{3 (\frac{\sqrt{3^{2} - 1}}{3} - \sqrt{1^{2} - 1})}{3 (3 - (1))}$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 \frac{\sqrt{3^{2} - 1}}{3} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Passaggio 3.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \frac{\sqrt{3^{2} - 1}}{3} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Passaggio 3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{3^{2} - 1} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Passaggio 3.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.5.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{9 - 1} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Passaggio 3.5.2

Sottrai $1$ da $9$ .

$\frac{\sqrt{8} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Passaggio 3.5.3

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

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Passaggio 3.5.3.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$\frac{\sqrt{4 (2)} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Passaggio 3.5.3.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Passaggio 3.5.4

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{2 \sqrt{2} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Passaggio 3.5.5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{2 \sqrt{2} + 3 (- \sqrt{1 - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Passaggio 3.5.6

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 3 (- \sqrt{0})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Passaggio 3.5.7

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 3 (- \sqrt{0^{2}})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Passaggio 3.5.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{2 \sqrt{2} + 3 (- 0)}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Passaggio 3.5.9

Moltiplica $3 (- 0)$ .

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Passaggio 3.5.9.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 3 \cdot 0}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Passaggio 3.5.9.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 0}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Passaggio 3.5.10

Somma $2 \sqrt{2}$ e $0$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Passaggio 3.6

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.6.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{9 + 3 (- (1))}$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $3 (- (1))$ .

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Passaggio 3.6.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{9 + 3 \cdot - 1}$

Passaggio 3.6.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{9 - 3}$

Passaggio 3.6.3

Sottrai $3$ da $9$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{6}$

Passaggio 3.7

Elimina il fattore comune di $2$ e $6$ .

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Passaggio 3.7.1

Scomponi $2$ da $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (\sqrt{2})}{6}$

Passaggio 3.7.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.7.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{2}}{3}$

Passaggio 4

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{\sqrt{2}}{3}$

Forma decimale:

$0.47140452 \dots$