Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{x - 1}$ ; $[- 4, - \frac{11}{3}]$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \frac{1}{x - 1}$ come un'equazione.

$y = \frac{1}{x - 1}$

Passaggio 2

Sostituisci usando la formula del tasso medio di variazione.

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Passaggio 2.1

È possibile trovare il tasso medio di variazione di una funzione calcolando la variazione dei valori $y$ dei due punti diviso per la variazione dei valori $x$ dei due punti.

$\frac{f (- \frac{11}{3}) - f (- 4)}{(- \frac{11}{3}) - (- 4)}$

Passaggio 2.2

Sostituisci l'equazione $y = \frac{1}{x - 1}$ a $f (- \frac{11}{3})$ e $f (- 4)$ , sostituendo $x$ nella funzione con il valore $x$ corrispondente.

$\frac{(\frac{1}{(- \frac{11}{3}) - 1}) - (\frac{1}{(- 4) - 1})}{(- \frac{11}{3}) - (- 4)}$

Passaggio 3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica il numeratore e il denominatore della frazione per $(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Moltiplica $\frac{\frac{1}{- \frac{11}{3} - 1} - \frac{1}{- 4 - 1}}{- \frac{11}{3} - (- 4)}$ per $\frac{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3}$ .

$\frac{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3} \cdot \frac{\frac{1}{- \frac{11}{3} - 1} - \frac{1}{- 4 - 1}}{- \frac{11}{3} - (- 4)}$

Passaggio 3.1.2

Combina.

$\frac{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (\frac{1}{- \frac{11}{3} - 1} - \frac{1}{- 4 - 1})}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- \frac{11}{3} - (- 4))}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 \frac{1}{- \frac{11}{3} - 1} + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- \frac{1}{- 4 - 1})}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- \frac{11}{3}) + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Passaggio 3.3

Semplifica cancellando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Elimina il fattore comune di $- \frac{11}{3} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Scomponi $- \frac{11}{3} - 1$ da $(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3$ .

$\frac{(- \frac{11}{3} - 1) ((- 4 - 1) \cdot 3) \frac{1}{- \frac{11}{3} - 1} + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- \frac{1}{- 4 - 1})}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- \frac{11}{3}) + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Passaggio 3.3.1.2

Elimina il fattore comune.

Passaggio 3.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(- 4 - 1) \cdot 3 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- \frac{1}{- 4 - 1})}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- \frac{11}{3}) + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Passaggio 3.3.2

Elimina il fattore comune di $- 4 - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{- 4 - 1}$ nel numeratore.

$\frac{(- 4 - 1) \cdot 3 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 \frac{- 1}{- 4 - 1}}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- \frac{11}{3}) + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Passaggio 3.3.2.2

Scomponi $- 4 - 1$ da $(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3$ .

$\frac{(- 4 - 1) \cdot 3 + (- 4 - 1) ((- \frac{11}{3} - 1) \cdot 3) \frac{- 1}{- 4 - 1}}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- \frac{11}{3}) + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Passaggio 3.3.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{(- 4 - 1) \cdot 3 + (- 4 - 1) ((- \frac{11}{3} - 1) \cdot 3) \frac{- 1}{- 4 - 1}}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- \frac{11}{3}) + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Passaggio 3.3.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(- 4 - 1) \cdot 3 + (- \frac{11}{3} - 1) \cdot 3 \cdot - 1}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- \frac{11}{3}) + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{(- 4 - 1) \cdot 3 + (- \frac{11}{3} - 1) \cdot - 3}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- \frac{11}{3}) + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Passaggio 3.3.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{11}{3}$ nel numeratore.

$\frac{(- 4 - 1) \cdot 3 + (- \frac{11}{3} - 1) \cdot - 3}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 \frac{- 11}{3} + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Passaggio 3.3.4.2

Scomponi $3$ da $(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3$ .

$\frac{(- 4 - 1) \cdot 3 + (- \frac{11}{3} - 1) \cdot - 3}{3 \cdot ((- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1)) \frac{- 11}{3} + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Passaggio 3.3.4.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{(- 4 - 1) \cdot 3 + (- \frac{11}{3} - 1) \cdot - 3}{3 \cdot ((- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1)) \frac{- 11}{3} + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Passaggio 3.3.4.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(- 4 - 1) \cdot 3 + (- \frac{11}{3} - 1) \cdot - 3}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Passaggio 3.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sottrai $1$ da $- 4$ .

$\frac{- 5 \cdot 3 + (- \frac{11}{3} - 1) \cdot - 3}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $- 5$ per $3$ .

$\frac{- 15 + (- \frac{11}{3} - 1) \cdot - 3}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Passaggio 3.4.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 15 + (- \frac{11}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}) \cdot - 3}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Passaggio 3.4.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 15 + (- \frac{11}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}) \cdot - 3}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Passaggio 3.4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 15 + \frac{- 11 - 1 \cdot 3}{3} \cdot - 3}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Passaggio 3.4.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{- 15 + \frac{- 11 - 3}{3} \cdot - 3}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Passaggio 3.4.6.2

Sottrai $3$ da $- 11$ .

$\frac{- 15 + \frac{- 14}{3} \cdot - 3}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Passaggio 3.4.7

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.7.1

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$\frac{- 15 + \frac{- 14}{3} \cdot (3 (- 1))}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Passaggio 3.4.7.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 15 + \frac{- 14}{3} \cdot (3 \cdot - 1)}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Passaggio 3.4.7.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 15 - 14 \cdot - 1}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Passaggio 3.4.8

Moltiplica $- 14$ per $- 1$ .

$\frac{- 15 + 14}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Passaggio 3.4.9

Somma $- 15$ e $14$ .

$\frac{- 1}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Passaggio 3.5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 1}{(- \frac{11}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}) (- 4 - 1) \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Passaggio 3.5.2

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 1}{(- \frac{11}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}) (- 4 - 1) \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Passaggio 3.5.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 1}{\frac{- 11 - 1 \cdot 3}{3} (- 4 - 1) \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Passaggio 3.5.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{- 1}{\frac{- 11 - 3}{3} (- 4 - 1) \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Passaggio 3.5.4.2

Sottrai $3$ da $- 11$ .

$\frac{- 1}{\frac{- 14}{3} (- 4 - 1) \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Passaggio 3.5.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{- 1}{- \frac{14}{3} (- 4 - 1) \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Passaggio 3.5.6

Sottrai $1$ da $- 4$ .

$\frac{- 1}{- \frac{14}{3} \cdot - 5 \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Passaggio 3.5.7

Moltiplica $- \frac{14}{3} \cdot - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.1

Moltiplica $- 5$ per $- 1$ .

$\frac{- 1}{5 (\frac{14}{3}) \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Passaggio 3.5.7.2

$5$ e $\frac{14}{3}$ .

$\frac{- 1}{\frac{5 \cdot 14}{3} \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Passaggio 3.5.7.3

Moltiplica $5$ per $14$ .

$\frac{- 1}{\frac{70}{3} \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Passaggio 3.5.8

Moltiplica $\frac{70}{3} \cdot - 11$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.8.1

$\frac{70}{3}$ e $- 11$ .

$\frac{- 1}{\frac{70 \cdot - 11}{3} + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Passaggio 3.5.8.2

Moltiplica $70$ per $- 11$ .

$\frac{- 1}{\frac{- 770}{3} + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Passaggio 3.5.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{- 1}{- \frac{770}{3} + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Passaggio 3.5.10

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 1}{- \frac{770}{3} + (- \frac{11}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Passaggio 3.5.11

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 1}{- \frac{770}{3} + (- \frac{11}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Passaggio 3.5.12

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 1}{- \frac{770}{3} + \frac{- 11 - 1 \cdot 3}{3} (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Passaggio 3.5.13

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.13.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{- 1}{- \frac{770}{3} + \frac{- 11 - 3}{3} (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Passaggio 3.5.13.2

Sottrai $3$ da $- 11$ .

$\frac{- 1}{- \frac{770}{3} + \frac{- 14}{3} (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Passaggio 3.5.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{- 1}{- \frac{770}{3} - \frac{14}{3} (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Passaggio 3.5.15

Sottrai $1$ da $- 4$ .

$\frac{- 1}{- \frac{770}{3} - \frac{14}{3} \cdot - 5 \cdot 3 (- (- 4))}$

Passaggio 3.5.16

Moltiplica $- \frac{14}{3} \cdot - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.16.1

Moltiplica $- 5$ per $- 1$ .

$\frac{- 1}{- \frac{770}{3} + 5 (\frac{14}{3}) \cdot 3 (- (- 4))}$

Passaggio 3.5.16.2

$5$ e $\frac{14}{3}$ .

$\frac{- 1}{- \frac{770}{3} + \frac{5 \cdot 14}{3} \cdot 3 (- (- 4))}$

Passaggio 3.5.16.3

Moltiplica $5$ per $14$ .

$\frac{- 1}{- \frac{770}{3} + \frac{70}{3} \cdot 3 (- (- 4))}$

Passaggio 3.5.17

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.17.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{- \frac{770}{3} + \frac{70}{3} \cdot 3 (- (- 4))}$

Passaggio 3.5.17.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{- \frac{770}{3} + 70 (- (- 4))}$

Passaggio 3.5.18

Moltiplica $70 (- (- 4))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.18.1

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$\frac{- 1}{- \frac{770}{3} + 70 \cdot 4}$

Passaggio 3.5.18.2

Moltiplica $70$ per $4$ .

$\frac{- 1}{- \frac{770}{3} + 280}$

Passaggio 3.5.19

Per scrivere $280$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 1}{- \frac{770}{3} + 280 \cdot \frac{3}{3}}$

Passaggio 3.5.20

$280$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 1}{- \frac{770}{3} + \frac{280 \cdot 3}{3}}$

Passaggio 3.5.21

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 1}{\frac{- 770 + 280 \cdot 3}{3}}$

Passaggio 3.5.22

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.22.1

Moltiplica $280$ per $3$ .

$\frac{- 1}{\frac{- 770 + 840}{3}}$

Passaggio 3.5.22.2

Somma $- 770$ e $840$ .

$\frac{- 1}{\frac{70}{3}}$

Passaggio 3.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{3}{70}$