Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{- 1}{x^{2} - 36}$

Passaggio 1

Considera la formula del rapporto incrementale.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Passaggio 2

Trova i componenti della definizione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Risolvi la funzione per $x = x + h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $x + h$ nell'espressione.

$f (x + h) = \frac{- 1}{{(x + h)}^{2} - 36}$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{- 1}{{(x + h)}^{2} - 6^{2}}$

Passaggio 2.1.2.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x + h$ e $b = 6$ .

$f (x + h) = \frac{- 1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$

Passaggio 2.1.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (x + h) = - \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$

Passaggio 2.1.2.3

La risposta finale è $- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$ .

$- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$

Passaggio 2.2

Trova i componenti della definizione.

$f (x + h) = - \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$

$f (x) = - \frac{1}{(x + 6) (x - 6)}$

$f (x + h) = - \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$

$f (x) = - \frac{1}{(x + 6) (x - 6)}$

Passaggio 3

Collega i componenti.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)} - (- \frac{1}{(x + 6) (x - 6)})}{h}$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1.1

Moltiplica $- - \frac{1}{(x + 6) (x - 6)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)} + 1 \frac{1}{(x + 6) (x - 6)}}{h}$

Passaggio 4.1.1.2

Moltiplica $\frac{1}{(x + 6) (x - 6)}$ per $1$ .

$\frac{- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)} + \frac{1}{(x + 6) (x - 6)}}{h}$

Passaggio 4.1.2

Per scrivere $- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)}$ .

$\frac{- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)} + \frac{1}{(x + 6) (x - 6)}}{h}$

Passaggio 4.1.3

Per scrivere $\frac{1}{(x + 6) (x - 6)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{(x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$ .

$\frac{- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)} + \frac{1}{(x + 6) (x - 6)} \cdot \frac{(x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + h + 6) (x + h - 6)}}{h}$

Passaggio 4.1.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(x + h + 6) (x + h - 6) (x + 6) (x - 6)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 4.1.4.1

Moltiplica $\frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$ per $\frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)}$ .

$\frac{- \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + h + 6) (x + h - 6) ((x + 6) (x - 6))} + \frac{1}{(x + 6) (x - 6)} \cdot \frac{(x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + h + 6) (x + h - 6)}}{h}$

Passaggio 4.1.4.2

Moltiplica $\frac{1}{(x + 6) (x - 6)}$ per $\frac{(x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$ .

$\frac{- \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + h + 6) (x + h - 6) ((x + 6) (x - 6))} + \frac{(x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x - 6) ((x + h + 6) (x + h - 6))}}{h}$

Passaggio 4.1.4.3

Riordina i fattori di $(x + h + 6) (x + h - 6) ((x + 6) (x - 6))$ .

$\frac{- \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)} + \frac{(x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x - 6) ((x + h + 6) (x + h - 6))}}{h}$

Passaggio 4.1.4.4

Riordina i fattori di $(x + 6) (x - 6) ((x + h + 6) (x + h - 6))$ .

$\frac{- \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)} + \frac{(x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Passaggio 4.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{- (x + 6) (x - 6) + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Passaggio 4.1.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\frac{(- x - 1 \cdot 6) (x - 6) + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.2

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$\frac{\frac{(- x - 6) (x - 6) + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.3

Espandi $(- x - 6) (x - 6)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.1.6.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\frac{- x (x - 6) - 6 (x - 6) + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\frac{- x \cdot x - x \cdot - 6 - 6 (x - 6) + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\frac{- x \cdot x - x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6 + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.4

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 4.1.6.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.6.4.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.1.6.4.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{\frac{- (x \cdot x) - x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6 + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.4.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{\frac{- x^{2} - x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6 + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.4.1.2

Moltiplica $- 6$ per $- 1$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 6 x - 6 x - 6 \cdot - 6 + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.4.1.3

Moltiplica $- 6$ per $- 6$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 6 x - 6 x + 36 + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.4.2

Sottrai $6 x$ da $6 x$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 0 + 36 + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.4.3

Somma $- x^{2}$ e $0$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.5

Espandi $(x + h + 6) (x + h - 6)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x \cdot x + x h + x \cdot - 6 + h x + h \cdot h + h \cdot - 6 + 6 x + 6 h + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.6

Combina i termini opposti in $x \cdot x + x h + x \cdot - 6 + h x + h \cdot h + h \cdot - 6 + 6 x + 6 h + 6 \cdot - 6$ .

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Passaggio 4.1.6.6.1

Riordina i fattori nei termini di $x \cdot - 6$ e $6 x$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x \cdot x + x h - 6 x + h x + h \cdot h + h \cdot - 6 + 6 x + 6 h + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.6.2

Somma $- 6 x$ e $6 x$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + h \cdot - 6 + 0 + 6 h + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.6.3

Somma $x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + h \cdot - 6$ e $0$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + h \cdot - 6 + 6 h + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.6.4

Riordina i fattori nei termini di $h \cdot - 6$ e $6 h$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x \cdot x + x h + h x + h \cdot h - 6 h + 6 h + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.6.5

Somma $- 6 h$ e $6 h$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 0 + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.6.6

Somma $x \cdot x + x h + h x + h \cdot h$ e $0$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.7

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.6.7.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x^{2} + x h + h x + h \cdot h + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.7.2

Moltiplica $h$ per $h$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x^{2} + x h + h x + h^{2} + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.7.3

Moltiplica $6$ per $- 6$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x^{2} + x h + h x + h^{2} - 36}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.8

Somma $x h$ e $h x$ .

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Passaggio 4.1.6.8.1

Riordina $h$ e $x$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x^{2} + x h + x h + h^{2} - 36}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.8.2

Somma $x h$ e $x h$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x^{2} + 2 x h + h^{2} - 36}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.9

Somma $- x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{\frac{0 + 36 + 2 x h + h^{2} - 36}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.10

Somma $0$ e $36$ .

$\frac{\frac{36 + 2 x h + h^{2} - 36}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.11

Sottrai $36$ da $36$ .

$\frac{\frac{2 x h + h^{2} + 0}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.12

Somma $2 x h + h^{2}$ e $0$ .

$\frac{\frac{2 x h + h^{2}}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.13

Scomponi $h$ da $2 x h + h^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.13.1

Scomponi $h$ da $2 x h$ .

$\frac{\frac{h (2 x) + h^{2}}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.13.2

Scomponi $h$ da $h^{2}$ .

$\frac{\frac{h (2 x) + h (h)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.13.3

Scomponi $h$ da $h (2 x) + h (h)$ .

$\frac{\frac{h (2 x + h)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Passaggio 4.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{h (2 x + h)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)} \cdot \frac{1}{h}$

Passaggio 4.3

Elimina il fattore comune di $h$ .

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Passaggio 4.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{h (2 x + h)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)} \cdot \frac{1}{h}$

Passaggio 4.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 x + h}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}$

Passaggio 5