Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{x - 3}{x}$

Passaggio 1

Considera la formula del rapporto incrementale.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Passaggio 2

Trova i componenti della definizione.

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Passaggio 2.1

Risolvi la funzione per $x = x + h$ .

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Passaggio 2.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $x + h$ nell'espressione.

$f (x + h) = \frac{(x + h) - 3}{x + h}$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 2.1.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (x + h) = \frac{x + h - 3}{x + h}$

Passaggio 2.1.2.2

La risposta finale è $\frac{x + h - 3}{x + h}$ .

$\frac{x + h - 3}{x + h}$

Passaggio 2.2

Trova i componenti della definizione.

$f (x + h) = \frac{x + h - 3}{x + h}$

$f (x) = \frac{x - 3}{x}$

$f (x + h) = \frac{x + h - 3}{x + h}$

$f (x) = \frac{x - 3}{x}$

Passaggio 3

Collega i componenti.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{x + h - 3}{x + h} - (\frac{x - 3}{x})}{h}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1.1

Per scrivere $\frac{x + h - 3}{x + h}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{x + h - 3}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{x - 3}{x}}{h}$

Passaggio 4.1.2

Per scrivere $- \frac{x - 3}{x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{\frac{x + h - 3}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{x - 3}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Passaggio 4.1.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(x + h) x$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 4.1.3.1

Moltiplica $\frac{x + h - 3}{x + h}$ per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{(x + h - 3) x}{(x + h) x} - \frac{x - 3}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Passaggio 4.1.3.2

Moltiplica $\frac{x - 3}{x}$ per $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{\frac{(x + h - 3) x}{(x + h) x} - \frac{(x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.3.3

Riordina i fattori di $(x + h) x$ .

$\frac{\frac{(x + h - 3) x}{x (x + h)} - \frac{(x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{(x + h - 3) x - (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5

Riscrivi $\frac{(x + h - 3) x - (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}$ in una forma fattorizzata.

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Passaggio 4.1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\frac{x \cdot x + h x - 3 x - (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + h x - 3 x - (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\frac{x^{2} + h x - 3 x + (- x - - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.4

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$\frac{\frac{x^{2} + h x - 3 x + (- x + 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.5

Espandi $(- x + 3) (x + h)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.1.5.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\frac{x^{2} + h x - 3 x - x (x + h) + 3 (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\frac{x^{2} + h x - 3 x - x \cdot x - x h + 3 (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\frac{x^{2} + h x - 3 x - x \cdot x - x h + 3 x + 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.6

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.1.5.6.1

Sposta $x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + h x - 3 x - (x \cdot x) - x h + 3 x + 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.6.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + h x - 3 x - x^{2} - x h + 3 x + 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.7

Sottrai $x^{2}$ da $x^{2}$ .

$\frac{\frac{h x - 3 x + 0 - x h + 3 x + 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.8

Somma $h x$ e $0$ .

$\frac{\frac{h x - 3 x - x h + 3 x + 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.9

Sottrai $x h$ da $h x$ .

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Passaggio 4.1.5.9.1

Riordina $h$ e $x$ .

$\frac{\frac{- 3 x + x h - x h + 3 x + 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.9.2

Sottrai $x h$ da $x h$ .

$\frac{\frac{- 3 x + 0 + 3 x + 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.10

Somma $- 3 x$ e $0$ .

$\frac{\frac{- 3 x + 3 x + 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.11

Somma $- 3 x$ e $3 x$ .

$\frac{\frac{0 + 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.12

Somma $0$ e $3 h$ .

$\frac{\frac{3 h}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{3 h}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Passaggio 4.3

Elimina il fattore comune di $h$ .

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Passaggio 4.3.1

Scomponi $h$ da $3 h$ .

$\frac{h \cdot 3}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Passaggio 4.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{h \cdot 3}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Passaggio 4.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3}{x (x + h)}$

Passaggio 5