Precalcolo Esempi

$f (x) = 6 e^{x}$ , $[- 3, 3]$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = 6 e^{x}$ come un'equazione.

$y = 6 e^{x}$

Passaggio 2

Sostituisci usando la formula del tasso medio di variazione.

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Passaggio 2.1

È possibile trovare il tasso medio di variazione di una funzione calcolando la variazione dei valori $y$ dei due punti diviso per la variazione dei valori $x$ dei due punti.

$\frac{f (3) - f (- 3)}{(3) - (- 3)}$

Passaggio 2.2

Sostituisci l'equazione $y = 6 e^{x}$ a $f (3)$ e $f (- 3)$ , sostituendo $x$ nella funzione con il valore $x$ corrispondente.

$\frac{(6 e^{3}) - (6 e^{- 3})}{(3) - (- 3)}$

Passaggio 3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.1.1

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$\frac{6 e^{3} - 6 e^{- 3}}{3 - (- 3)}$

Passaggio 3.1.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6 e^{3} - 6 \frac{1}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

Passaggio 3.1.3

$- 6$ e $\frac{1}{e^{3}}$ .

$\frac{6 e^{3} + \frac{- 6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

Passaggio 3.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{6 e^{3} - \frac{6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

Passaggio 3.1.5

Per scrivere $6 e^{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{e^{3}}{e^{3}}$ .

$\frac{\frac{6 e^{3} e^{3}}{e^{3}} - \frac{6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

Passaggio 3.1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{6 e^{3} e^{3} - 6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

Passaggio 3.1.7

Moltiplica $e^{3}$ per $e^{3}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.1.7.1

Sposta $e^{3}$ .

$\frac{\frac{6 (e^{3} e^{3}) - 6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

Passaggio 3.1.7.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{6 e^{3 + 3} - 6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

Passaggio 3.1.7.3

Somma $3$ e $3$ .

$\frac{\frac{6 e^{6} - 6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

Passaggio 3.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$\frac{\frac{6 e^{6} - 6}{e^{3}}}{3 + 3}$

Passaggio 3.2.2

Somma $3$ e $3$ .

$\frac{\frac{6 e^{6} - 6}{e^{3}}}{6}$

Passaggio 3.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{6 e^{6} - 6}{e^{3}} \cdot \frac{1}{6}$

Passaggio 3.4

Semplifica i termini.

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Passaggio 3.4.1

Moltiplica $\frac{6 e^{6} - 6}{e^{3}}$ per $\frac{1}{6}$ .

$\frac{6 e^{6} - 6}{e^{3} \cdot 6}$

Passaggio 3.4.2

Elimina il fattore comune di $6 e^{6} - 6$ e $6$ .

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Passaggio 3.4.2.1

Scomponi $6$ da $6 e^{6}$ .

$\frac{6 (e^{6}) - 6}{e^{3} \cdot 6}$

Passaggio 3.4.2.2

Scomponi $6$ da $- 6$ .

$\frac{6 (e^{6}) + 6 \cdot - 1}{e^{3} \cdot 6}$

Passaggio 3.4.2.3

Scomponi $6$ da $6 (e^{6}) + 6 (- 1)$ .

$\frac{6 (e^{6} - 1)}{e^{3} \cdot 6}$

Passaggio 3.4.2.4

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.4.2.4.1

Scomponi $6$ da $e^{3} \cdot 6$ .

$\frac{6 (e^{6} - 1)}{6 \cdot e^{3}}$

Passaggio 3.4.2.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 (e^{6} - 1)}{6 \cdot e^{3}}$

Passaggio 3.4.2.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{e^{6} - 1}{e^{3}}$

Passaggio 3.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.5.1

Riscrivi $e^{6}$ come ${(e^{2})}^{3}$ .

$\frac{{(e^{2})}^{3} - 1}{e^{3}}$

Passaggio 3.5.2

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$\frac{{(e^{2})}^{3} - 1^{3}}{e^{3}}$

Passaggio 3.5.3

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = e^{2}$ e $b = 1$ .

$\frac{(e^{2} - 1) ({(e^{2})}^{2} + e^{2} \cdot 1 + 1^{2})}{e^{3}}$

Passaggio 3.5.4

Semplifica.

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Passaggio 3.5.4.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{(e^{2} - 1^{2}) ({(e^{2})}^{2} + e^{2} \cdot 1 + 1^{2})}{e^{3}}$

Passaggio 3.5.4.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = e$ e $b = 1$ .

$\frac{(e + 1) (e - 1) ({(e^{2})}^{2} + e^{2} \cdot 1 + 1^{2})}{e^{3}}$

Passaggio 3.5.4.3

Moltiplica $e^{2}$ per $1$ .

$\frac{(e + 1) (e - 1) ({(e^{2})}^{2} + e^{2} + 1^{2})}{e^{3}}$

Passaggio 3.5.5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.5.5.1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{2})}^{2}$ .

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Passaggio 3.5.5.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(e + 1) (e - 1) (e^{2 \cdot 2} + e^{2} + 1^{2})}{e^{3}}$

Passaggio 3.5.5.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{(e + 1) (e - 1) (e^{4} + e^{2} + 1^{2})}{e^{3}}$

Passaggio 3.5.5.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{(e + 1) (e - 1) (e^{4} + e^{2} + 1)}{e^{3}}$