Precalcolo Esempi

What is the average rate of change of $h (x) = \frac{1}{10 - x}$ over the interval $5 \leq x \leq 8$ ?

Passaggio 1

Scrivi $h (x) = \frac{1}{10 - x}$ come un'equazione.

$y = \frac{1}{10 - x}$

Passaggio 2

Sostituisci usando la formula del tasso medio di variazione.

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Passaggio 2.1

È possibile trovare il tasso medio di variazione di una funzione calcolando la variazione dei valori $y$ dei due punti diviso per la variazione dei valori $x$ dei due punti.

$\frac{f (8) - f (5)}{(8) - (5)}$

Passaggio 2.2

Sostituisci l'equazione $y = \frac{1}{10 - x}$ a $f (8)$ e $f (5)$ , sostituendo $x$ nella funzione con il valore $x$ corrispondente.

$\frac{(\frac{1}{10 - (8)}) - (\frac{1}{10 - (5)})}{(8) - (5)}$

Passaggio 3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.1

Moltiplica il numeratore e il denominatore della frazione per $(10 - (8)) (10 - (5))$ .

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Passaggio 3.1.1

Moltiplica $\frac{\frac{1}{10 - (8)} - \frac{1}{10 - (5)}}{8 - (5)}$ per $\frac{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5)}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5)}$ .

$\frac{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5)}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5)} \cdot \frac{\frac{1}{10 - (8)} - \frac{1}{10 - (5)}}{8 - (5)}$

Passaggio 3.1.2

Combina.

$\frac{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (\frac{1}{10 - (8)} - \frac{1}{10 - (5)})}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (8 - (5))}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \frac{1}{10 - (8)} + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- \frac{1}{10 - (5)})}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Passaggio 3.3

Semplifica cancellando.

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Passaggio 3.3.1

Elimina il fattore comune di $10 - 1 \cdot 8$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \frac{1}{(10 - (8)) \cdot 1} + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- \frac{1}{10 - (5)})}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Passaggio 3.3.1.2

Elimina il fattore comune.

Passaggio 3.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{10 - 1 \cdot 5 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- \frac{1}{10 - (5)})}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Passaggio 3.3.2

Elimina il fattore comune di $10 - 1 \cdot 5$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{10 - (5)}$ nel numeratore.

$\frac{10 - 1 \cdot 5 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \frac{- 1}{10 - (5)}}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Passaggio 3.3.2.2

Scomponi $10 - 1 \cdot 5$ da $(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5)$ .

$\frac{10 - 1 \cdot 5 + (10 - 1 \cdot 5) (10 - 1 \cdot 8) \frac{- 1}{10 - (5)}}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Passaggio 3.3.2.3

Moltiplica per $1$ .

$\frac{10 - 1 \cdot 5 + (10 - 1 \cdot 5) (10 - 1 \cdot 8) \frac{- 1}{(10 - (5)) \cdot 1}}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Passaggio 3.3.2.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{10 - 1 \cdot 5 + (10 - 1 \cdot 5) (10 - 1 \cdot 8) \frac{- 1}{(10 - (5)) \cdot 1}}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Passaggio 3.3.2.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{10 - 1 \cdot 5 + (10 - 1 \cdot 8) \cdot - 1}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$\frac{10 - 1 \cdot 5 + (10 - 8) \cdot - 1}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Passaggio 3.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.4.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{10 - 5 + (10 - 8) \cdot - 1}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Passaggio 3.4.2

Sottrai $8$ da $10$ .

$\frac{10 - 5 + 2 \cdot - 1}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{10 - 5 - 2}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Passaggio 3.4.4

Sottrai $5$ da $10$ .

$\frac{5 - 2}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Passaggio 3.4.5

Sottrai $2$ da $5$ .

$\frac{3}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Passaggio 3.5

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.5.1

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$\frac{3}{(10 - 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Passaggio 3.5.2

Sottrai $8$ da $10$ .

$\frac{3}{2 (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Passaggio 3.5.3

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{3}{2 (10 - 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Passaggio 3.5.4

Sottrai $5$ da $10$ .

$\frac{3}{2 \cdot 5 \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Passaggio 3.5.5

Moltiplica $2 \cdot 5 \cdot 8$ .

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Passaggio 3.5.5.1

Moltiplica $2$ per $5$ .

$\frac{3}{10 \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Passaggio 3.5.5.2

Moltiplica $10$ per $8$ .

$\frac{3}{80 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Passaggio 3.5.6

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$\frac{3}{80 + (10 - 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Passaggio 3.5.7

Sottrai $8$ da $10$ .

$\frac{3}{80 + 2 (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Passaggio 3.5.8

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{3}{80 + 2 (10 - 5) (- (5))}$

Passaggio 3.5.9

Sottrai $5$ da $10$ .

$\frac{3}{80 + 2 \cdot 5 (- (5))}$

Passaggio 3.5.10

Moltiplica $2 \cdot 5 (- (5))$ .

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Passaggio 3.5.10.1

Moltiplica $2$ per $5$ .

$\frac{3}{80 + 10 (- (5))}$

Passaggio 3.5.10.2

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{3}{80 + 10 \cdot - 5}$

Passaggio 3.5.10.3

Moltiplica $10$ per $- 5$ .

$\frac{3}{80 - 50}$

Passaggio 3.5.11

Sottrai $50$ da $80$ .

$\frac{3}{30}$

Passaggio 3.6

Elimina il fattore comune di $3$ e $30$ .

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Passaggio 3.6.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 (1)}{30}$

Passaggio 3.6.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.6.2.1

Scomponi $3$ da $30$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 10}$

Passaggio 3.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 10}$

Passaggio 3.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{10}$