Precalcolo Esempi

$C (t) = \frac{0.2 t}{t^{2} + 4}$

Passaggio 1

Considera la formula del rapporto incrementale.

$\frac{f (t + h) - f t}{h}$

Passaggio 2

Trova i componenti della definizione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Risolvi la funzione per $x = t + h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sostituisci la variabile $t$ con $t + h$ nell'espressione.

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{{(t + h)}^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Riscrivi ${(t + h)}^{2}$ come $(t + h) (t + h)$ .

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{(t + h) (t + h) + 4}$

Passaggio 2.1.2.1.2

Espandi $(t + h) (t + h)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{t (t + h) + h (t + h) + 4}$

Passaggio 2.1.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{t \cdot t + t h + h (t + h) + 4}$

Passaggio 2.1.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{t \cdot t + t h + h t + h \cdot h + 4}$

Passaggio 2.1.2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.3.1.1

Moltiplica $t$ per $t$ .

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + t h + h t + h \cdot h + 4}$

Passaggio 2.1.2.1.3.1.2

Moltiplica $h$ per $h$ .

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + t h + h t + h^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.2.1.3.2

Somma $t h$ e $h t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.3.2.1

Riordina $t$ e $h$ .

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + h t + h t + h^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.2.1.3.2.2

Somma $h t$ e $h t$ .

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.2.2

La risposta finale è $\frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}$ .

$\frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}$

Passaggio 2.2

Trova i componenti della definizione.

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}$

$C (t) = \frac{0.2 t}{t^{2} + 4}$

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}$

$C (t) = \frac{0.2 t}{t^{2} + 4}$

Passaggio 3

Collega i componenti.

$\frac{C (t + h) - C t}{h} = \frac{\frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4} - (\frac{0.2 t}{t^{2} + 4})}{h}$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Per scrivere $\frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{t^{2} + 4}{t^{2} + 4}$ .

$\frac{\frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4} \cdot \frac{t^{2} + 4}{t^{2} + 4} - \frac{0.2 t}{t^{2} + 4}}{h}$

Passaggio 4.1.2

Per scrivere $- \frac{0.2 t}{t^{2} + 4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}$ .

$\frac{\frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4} \cdot \frac{t^{2} + 4}{t^{2} + 4} - \frac{0.2 t}{t^{2} + 4} \cdot \frac{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}}{h}$

Passaggio 4.1.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Moltiplica $\frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}$ per $\frac{t^{2} + 4}{t^{2} + 4}$ .

$\frac{\frac{0.2 (t + h) (t^{2} + 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)} - \frac{0.2 t}{t^{2} + 4} \cdot \frac{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}}{h}$

Passaggio 4.1.3.2

Moltiplica $\frac{0.2 t}{t^{2} + 4}$ per $\frac{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}$ .

$\frac{\frac{0.2 (t + h) (t^{2} + 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)} - \frac{0.2 t (t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4)}{(t^{2} + 4) (t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4)}}{h}$

Passaggio 4.1.3.3

Riordina i fattori di $(t^{2} + 4) (t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4)$ .

$\frac{\frac{0.2 (t + h) (t^{2} + 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)} - \frac{0.2 t (t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Passaggio 4.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{0.2 (t + h) (t^{2} + 4) - 0.2 t (t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Passaggio 4.1.5

Riscrivi $\frac{0.2 (t + h) (t^{2} + 4) - 0.2 t (t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Scomponi $0.2$ da $0.2 (t + h) (t^{2} + 4) - 0.2 t (t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1.1

Sposta $h$ .

$\frac{\frac{0.2 (t + h) (t^{2} + 4) - 0.2 t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.1.2

Scomponi $0.2$ da $0.2 (t + h) (t^{2} + 4)$ .

$\frac{\frac{0.2 ((t + h) (t^{2} + 4)) - 0.2 t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.1.3

Scomponi $0.2$ da $- 0.2 t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4)$ .

$\frac{\frac{0.2 ((t + h) (t^{2} + 4)) + 0.2 (- t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.1.4

Scomponi $0.2$ da $0.2 ((t + h) (t^{2} + 4)) + 0.2 (- t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4))$ .

$\frac{\frac{0.2 ((t + h) (t^{2} + 4) - t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.2

Espandi $(t + h) (t^{2} + 4)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\frac{0.2 (t (t^{2} + 4) + h (t^{2} + 4) - t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\frac{0.2 (t \cdot t^{2} + t \cdot 4 + h (t^{2} + 4) - t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\frac{0.2 (t \cdot t^{2} + t \cdot 4 + h t^{2} + h \cdot 4 - t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.3.1

Moltiplica $t$ per $t^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.3.1.1

Moltiplica $t$ per $t^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.3.1.1.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{1} t^{2} + t \cdot 4 + h t^{2} + h \cdot 4 - t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.3.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{0.2 (t^{1 + 2} + t \cdot 4 + h t^{2} + h \cdot 4 - t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.3.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + t \cdot 4 + h t^{2} + h \cdot 4 - t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.3.2

Sposta $4$ alla sinistra di $t$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 4 \cdot t + h t^{2} + h \cdot 4 - t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.3.3

Sposta $4$ alla sinistra di $h$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 4 t + h t^{2} + 4 h - t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 4 t + h t^{2} + 4 h - t \cdot t^{2} - t (2 t h) - t h^{2} - t \cdot 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.5.1

Moltiplica $t$ per $t^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.5.1.1

Sposta $t^{2}$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 4 t + h t^{2} + 4 h - (t^{2} t) - t (2 t h) - t h^{2} - t \cdot 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.5.1.2

Moltiplica $t^{2}$ per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.5.1.2.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 4 t + h t^{2} + 4 h - (t^{2} t^{1}) - t (2 t h) - t h^{2} - t \cdot 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.5.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 4 t + h t^{2} + 4 h - t^{2 + 1} - t (2 t h) - t h^{2} - t \cdot 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.5.1.3

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 4 t + h t^{2} + 4 h - t^{3} - t (2 t h) - t h^{2} - t \cdot 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.5.2

Moltiplica $t$ per $t$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.5.2.1

Sposta $t$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 4 t + h t^{2} + 4 h - t^{3} - (t \cdot t) (2 h) - t h^{2} - t \cdot 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.5.2.2

Moltiplica $t$ per $t$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 4 t + h t^{2} + 4 h - t^{3} - t^{2} (2 h) - t h^{2} - t \cdot 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.5.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 4 t + h t^{2} + 4 h - t^{3} - t^{2} (2 h) - t h^{2} - 4 t)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.6.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 4 t + h t^{2} + 4 h - t^{3} - 1 \cdot 2 t^{2} h - t h^{2} - 4 t)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.6.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 4 t + h t^{2} + 4 h - t^{3} - 2 t^{2} h - t h^{2} - 4 t)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.7

Sottrai $t^{3}$ da $t^{3}$ .

$\frac{\frac{0.2 (4 t + h t^{2} + 4 h + 0 - 2 t^{2} h - t h^{2} - 4 t)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.8

Somma $4 t$ e $0$ .

$\frac{\frac{0.2 (4 t + h t^{2} + 4 h - 2 t^{2} h - t h^{2} - 4 t)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.9

Sottrai $4 t$ da $4 t$ .

$\frac{\frac{0.2 (h t^{2} + 4 h - 2 t^{2} h - t h^{2} + 0)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.10

Somma $h t^{2} + 4 h - 2 t^{2} h - t h^{2}$ e $0$ .

$\frac{\frac{0.2 (h t^{2} + 4 h - 2 t^{2} h - t h^{2})}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.11

Sottrai $2 t^{2} h$ da $h t^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.11.1

Riordina $h$ e $t^{2}$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{2} h - 2 t^{2} h + 4 h - t h^{2})}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.11.2

Sottrai $2 t^{2} h$ da $t^{2} h$ .

$\frac{\frac{0.2 (- t^{2} h + 4 h - t h^{2})}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.12

Scomponi $h$ da $- t^{2} h + 4 h - t h^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.12.1

Scomponi $h$ da $- t^{2} h$ .

$\frac{\frac{0.2 (h (- t^{2}) + 4 h - t h^{2})}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.12.2

Scomponi $h$ da $4 h$ .

$\frac{\frac{0.2 (h (- t^{2}) + h \cdot 4 - t h^{2})}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.12.3

Scomponi $h$ da $- t h^{2}$ .

$\frac{\frac{0.2 (h (- t^{2}) + h \cdot 4 + h (- t h))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.12.4

Scomponi $h$ da $h (- t^{2}) + h \cdot 4$ .

$\frac{\frac{0.2 (h (- t^{2} + 4) + h (- t h))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.12.5

Scomponi $h$ da $h (- t^{2} + 4) + h (- t h)$ .

$\frac{\frac{0.2 (h (- t^{2} + 4 - t h))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

$\frac{\frac{0.2 h (- t^{2} + 4 - t h)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Passaggio 4.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{0.2 h (- t^{2} + 4 - t h)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)} \cdot \frac{1}{h}$

Passaggio 4.3

Combina.

$\frac{0.2 h (- t^{2} + 4 - t h) \cdot 1}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4) h}$

Passaggio 4.4

Elimina il fattore comune di $h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{0.2 h (- t^{2} + 4 - t h) \cdot 1}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4) h}$

Passaggio 4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{0.2 (- t^{2} + 4 - t h) \cdot 1}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}$

Passaggio 4.5

Moltiplica $0.2$ per $1$ .

$\frac{0.2 (- t^{2} + 4 - t h)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}$

Passaggio 4.6

Scomponi $- 1$ da $- t^{2}$ .

$\frac{0.2 (- (t^{2}) + 4 - t h)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}$

Passaggio 4.7

Riscrivi $4$ come $- 1 (- 4)$ .

$\frac{0.2 (- (t^{2}) - 1 (- 4) - t h)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}$

Passaggio 4.8

Scomponi $- 1$ da $- (t^{2}) - 1 (- 4)$ .

$\frac{0.2 (- (t^{2} - 4) - t h)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}$

Passaggio 4.9

Scomponi $- 1$ da $- t h$ .

$\frac{0.2 (- (t^{2} - 4) - (t h))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}$

Passaggio 4.10

Scomponi $- 1$ da $- (t^{2} - 4) - (t h)$ .

$\frac{0.2 (- (t^{2} - 4 + t h))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}$

Passaggio 4.11

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.11.1

Riscrivi $- (t^{2} - 4 + t h)$ come $- 1 (t^{2} - 4 + t h)$ .

$\frac{0.2 (- 1 (t^{2} - 4 + t h))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}$

Passaggio 4.11.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{0.2 (t^{2} - 4 + t h)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}$

Passaggio 5