Precalcolo Esempi

$V = \frac{4}{3} π r^{3}$

Passaggio 1

Scrivi $V = \frac{4}{3} π r^{3}$ come funzione.

$f (r) = \frac{4}{3} π r^{3}$

Passaggio 2

Considera la formula del rapporto incrementale.

$\frac{f (r + h) - f r}{h}$

Passaggio 3

Trova i componenti della definizione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Risolvi la funzione per $x = r + h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $r$ con $r + h$ nell'espressione.

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π {(r + h)}^{3})$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Usa il teorema binomiale.

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π (r^{3} + 3 r^{2} h + 3 r h^{2} + h^{3}))$

Passaggio 3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3} + π (3 r^{2} h) + π (3 r h^{2}) + π h^{3})$

Passaggio 3.1.2.3

Rimuovi le parentesi.

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3} + π \cdot (3 r^{2} h) + π \cdot (3 r h^{2}) + π h^{3})$

Passaggio 3.1.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.4.1

Sposta $3$ alla sinistra di $π$ .

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3} + 3 \cdot (π r^{2} h) + π \cdot (3 r h^{2}) + π h^{3})$

Passaggio 3.1.2.4.2

Sposta $3$ alla sinistra di $π$ .

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3} + 3 π r^{2} h + 3 π r h^{2} + π h^{3})$

Passaggio 3.1.2.5

Applica la proprietà distributiva.

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3}) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r^{2} h) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

Passaggio 3.1.2.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.6.1

Moltiplica $\frac{4}{3} (π r^{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.6.1.1

$π$ e $\frac{4}{3}$ .

$f (r + h) = \frac{π \cdot 4}{3} r^{3} + \frac{4}{3} \cdot (3 π r^{2} h) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

Passaggio 3.1.2.6.1.2

$\frac{π \cdot 4}{3}$ e $r^{3}$ .

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + \frac{4}{3} \cdot (3 π r^{2} h) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

Passaggio 3.1.2.6.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.6.2.1

Scomponi $3$ da $3 π r^{2} h$ .

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + \frac{4}{3} \cdot (3 (π r^{2} h)) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

Passaggio 3.1.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + \frac{4}{3} \cdot (3 (π r^{2} h)) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

Passaggio 3.1.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

Passaggio 3.1.2.6.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.6.3.1

Scomponi $3$ da $3 π r h^{2}$ .

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + \frac{4}{3} \cdot (3 (π r h^{2})) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

Passaggio 3.1.2.6.3.2

Elimina il fattore comune.

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + \frac{4}{3} \cdot (3 (π r h^{2})) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

Passaggio 3.1.2.6.3.3

Riscrivi l'espressione.

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + 4 (π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

Passaggio 3.1.2.6.4

Moltiplica $\frac{4}{3} (π h^{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.6.4.1

$π$ e $\frac{4}{3}$ .

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + 4 (π r h^{2}) + \frac{π \cdot 4}{3} h^{3}$

Passaggio 3.1.2.6.4.2

$\frac{π \cdot 4}{3}$ e $h^{3}$ .

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + 4 (π r h^{2}) + \frac{π \cdot (4 h^{3})}{3}$

Passaggio 3.1.2.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.7.1

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$f (r + h) = \frac{4 \cdot (π r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + 4 (π r h^{2}) + \frac{π \cdot (4 h^{3})}{3}$

Passaggio 3.1.2.7.2

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$f (r + h) = \frac{4 π r^{3}}{3} + 4 π r^{2} h + 4 π r h^{2} + \frac{4 π h^{3}}{3}$

Passaggio 3.1.2.8

La risposta finale è $\frac{4 π r^{3}}{3} + 4 π r^{2} h + 4 π r h^{2} + \frac{4 π h^{3}}{3}$ .

$\frac{4 π r^{3}}{3} + 4 π r^{2} h + 4 π r h^{2} + \frac{4 π h^{3}}{3}$

Passaggio 3.2

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sposta $r^{2}$ .

$\frac{4 π r^{3}}{3} + 4 π h r^{2} + 4 π r h^{2} + \frac{4 π h^{3}}{3}$

Passaggio 3.2.2

Sposta $r$ .

$\frac{4 π r^{3}}{3} + 4 π h r^{2} + 4 π h^{2} r + \frac{4 π h^{3}}{3}$

Passaggio 3.2.3

Sposta $\frac{4 π r^{3}}{3}$ .

$4 π h r^{2} + 4 π h^{2} r + \frac{4 π h^{3}}{3} + \frac{4 π r^{3}}{3}$

Passaggio 3.2.4

Sposta $4 π h r^{2}$ .

$4 π h^{2} r + \frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h r^{2} + \frac{4 π r^{3}}{3}$

Passaggio 3.2.5

Riordina $4 π h^{2} r$ e $\frac{4 π h^{3}}{3}$ .

$\frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2} + \frac{4 π r^{3}}{3}$

Passaggio 3.3

Trova i componenti della definizione.

$f (r + h) = \frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2} + \frac{4 π r^{3}}{3}$

$f (r) = \frac{4 π r^{3}}{3}$

$f (r + h) = \frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2} + \frac{4 π r^{3}}{3}$

$f (r) = \frac{4 π r^{3}}{3}$

Passaggio 4

Collega i componenti.

$\frac{f (r + h) - f r}{h} = \frac{\frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2} + \frac{4 π r^{3}}{3} - (\frac{4 π r^{3}}{3})}{h}$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Sottrai $\frac{4 π r^{3}}{3}$ da $\frac{4 π r^{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2} + 0}{h}$

Passaggio 5.1.2

Somma $\frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2}$ e $0$ .

$\frac{\frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2}}{h}$

Passaggio 5.1.3

Scomponi $4 π h$ da $\frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Scomponi $4 π h$ da $\frac{4 π h^{3}}{3}$ .

$\frac{4 π h \frac{h^{2}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2}}{h}$

Passaggio 5.1.3.2

Scomponi $4 π h$ da $4 π h^{2} r$ .

$\frac{4 π h \frac{h^{2}}{3} + 4 π h (h r) + 4 π h r^{2}}{h}$

Passaggio 5.1.3.3

Scomponi $4 π h$ da $4 π h r^{2}$ .

$\frac{4 π h \frac{h^{2}}{3} + 4 π h (h r) + 4 π h r^{2}}{h}$

Passaggio 5.1.3.4

Scomponi $4 π h$ da $4 π h \frac{h^{2}}{3} + 4 π h (h r)$ .

$\frac{4 π h (\frac{h^{2}}{3} + h r) + 4 π h r^{2}}{h}$

Passaggio 5.1.3.5

Scomponi $4 π h$ da $4 π h (\frac{h^{2}}{3} + h r) + 4 π h r^{2}$ .

$\frac{4 π h (\frac{h^{2}}{3} + h r + r^{2})}{h}$

Passaggio 5.1.4

Per scrivere $h r$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 π h (\frac{h^{2}}{3} + h r \cdot \frac{3}{3} + r^{2})}{h}$

Passaggio 5.1.5

$h r$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 π h (\frac{h^{2}}{3} + \frac{h r \cdot 3}{3} + r^{2})}{h}$

Passaggio 5.1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4 π h (\frac{h^{2} + h r \cdot 3}{3} + r^{2})}{h}$

Passaggio 5.1.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.7.1

Scomponi $h$ da $h^{2} + h r \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.7.1.1

Scomponi $h$ da $h^{2}$ .

$\frac{4 π h (\frac{h \cdot h + h r \cdot 3}{3} + r^{2})}{h}$

Passaggio 5.1.7.1.2

Scomponi $h$ da $h r \cdot 3$ .

$\frac{4 π h (\frac{h (h) + h (r \cdot 3)}{3} + r^{2})}{h}$

Passaggio 5.1.7.1.3

Scomponi $h$ da $h (h) + h (r \cdot 3)$ .

$\frac{4 π h (\frac{h (h + r \cdot 3)}{3} + r^{2})}{h}$

Passaggio 5.1.7.2

Sposta $3$ alla sinistra di $r$ .

$\frac{4 π h (\frac{h (h + 3 r)}{3} + r^{2})}{h}$

Passaggio 5.1.8

Per scrivere $r^{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 π h (\frac{h (h + 3 r)}{3} + r^{2} \cdot \frac{3}{3})}{h}$

Passaggio 5.1.9

$r^{2}$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 π h (\frac{h (h + 3 r)}{3} + \frac{r^{2} \cdot 3}{3})}{h}$

Passaggio 5.1.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4 π h \frac{h (h + 3 r) + r^{2} \cdot 3}{3}}{h}$

Passaggio 5.1.11

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 π h \frac{h (h) + h (3 r) + r^{2} \cdot 3}{3}}{h}$

Passaggio 5.1.11.2

Moltiplica $h$ per $h$ .

$\frac{4 π h \frac{h^{2} + h (3 r) + r^{2} \cdot 3}{3}}{h}$

Passaggio 5.1.11.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{4 π h \frac{h^{2} + 3 h r + r^{2} \cdot 3}{3}}{h}$

Passaggio 5.1.11.4

Sposta $3$ alla sinistra di $r^{2}$ .

$\frac{4 π h \frac{h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}}{3}}{h}$

Passaggio 5.1.12

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.12.1

$4$ e $\frac{h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}}{3}$ .

$\frac{π h \frac{4 (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})}{3}}{h}$

Passaggio 5.1.12.2

$π$ e $\frac{4 (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})}{3}$ .

$\frac{h \frac{π (4 (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}))}{3}}{h}$

Passaggio 5.1.12.3

$h$ e $\frac{π (4 (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}))}{3}$ .

$\frac{\frac{h (π (4 (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})))}{3}}{h}$

Passaggio 5.1.13

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$\frac{\frac{h π \cdot 4 (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})}{3}}{h}$

Passaggio 5.1.14

Sposta $4$ alla sinistra di $h π$ .

$\frac{\frac{4 h π (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})}{3}}{h}$

Passaggio 5.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{4 h π (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})}{3} \cdot \frac{1}{h}$

Passaggio 5.3

Combina.

$\frac{4 h π (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}) \cdot 1}{3 h}$

Passaggio 5.4

Elimina il fattore comune di $h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 h π (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}) \cdot 1}{3 h}$

Passaggio 5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 π (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}) \cdot 1}{3}$

Passaggio 5.5

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\frac{4 π (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})}{3}$

Passaggio 6