Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{5}{x^{2} + 1}$ ; $[- 1, 1]$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \frac{5}{x^{2} + 1}$ come un'equazione.

$y = \frac{5}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2

Sostituisci usando la formula del tasso medio di variazione.

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Passaggio 2.1

È possibile trovare il tasso medio di variazione di una funzione calcolando la variazione dei valori $y$ dei due punti diviso per la variazione dei valori $x$ dei due punti.

$\frac{f (1) - f (- 1)}{(1) - (- 1)}$

Passaggio 2.2

Sostituisci l'equazione $y = \frac{5}{x^{2} + 1}$ a $f (1)$ e $f (- 1)$ , sostituendo $x$ nella funzione con il valore $x$ corrispondente.

$\frac{(\frac{5}{{(1)}^{2} + 1}) - (\frac{5}{{(- 1)}^{2} + 1})}{(1) - (- 1)}$

Passaggio 3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.1

Moltiplica il numeratore e il denominatore della frazione per $(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1)$ .

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Passaggio 3.1.1

Moltiplica $\frac{\frac{5}{1^{2} + 1} - \frac{5}{{(- 1)}^{2} + 1}}{1 - (- 1)}$ per $\frac{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1)}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1)}$ .

$\frac{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1)}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1)} \cdot \frac{\frac{5}{1^{2} + 1} - \frac{5}{{(- 1)}^{2} + 1}}{1 - (- 1)}$

Passaggio 3.1.2

Combina.

$\frac{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (\frac{5}{1^{2} + 1} - \frac{5}{{(- 1)}^{2} + 1})}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (1 - (- 1))}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \frac{5}{1^{2} + 1} + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- \frac{5}{{(- 1)}^{2} + 1})}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Passaggio 3.3

Semplifica cancellando.

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Passaggio 3.3.1

Elimina il fattore comune di $1^{2} + 1$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 3.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 5 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- \frac{5}{{(- 1)}^{2} + 1})}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Passaggio 3.3.2

Elimina il fattore comune di ${(- 1)}^{2} + 1$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{5}{{(- 1)}^{2} + 1}$ nel numeratore.

$\frac{({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 5 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \frac{- 5}{{(- 1)}^{2} + 1}}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Passaggio 3.3.2.2

Scomponi ${(- 1)}^{2} + 1$ da $(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1)$ .

$\frac{({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 5 + ({(- 1)}^{2} + 1) (1^{2} + 1) \frac{- 5}{{(- 1)}^{2} + 1}}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Passaggio 3.3.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 5 + ({(- 1)}^{2} + 1) (1^{2} + 1) \frac{- 5}{{(- 1)}^{2} + 1}}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Passaggio 3.3.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 5 + (1^{2} + 1) \cdot - 5}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Passaggio 3.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.4.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\frac{(1 + 1) \cdot 5 + (1^{2} + 1) \cdot - 5}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Passaggio 3.4.2

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2 \cdot 5 + (1^{2} + 1) \cdot - 5}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica $2$ per $5$ .

$\frac{10 + (1^{2} + 1) \cdot - 5}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Passaggio 3.4.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{10 + (1 + 1) \cdot - 5}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Passaggio 3.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{10 + 2 \cdot - 5}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Passaggio 3.4.6

Moltiplica $2$ per $- 5$ .

$\frac{10 - 10}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Passaggio 3.4.7

Sottrai $10$ da $10$ .

$\frac{0}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Passaggio 3.5

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.5.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{0}{(1 + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Passaggio 3.5.2

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{0}{2 ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Passaggio 3.5.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\frac{0}{2 (1 + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Passaggio 3.5.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{0}{2 \cdot 2 \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Passaggio 3.5.5

Moltiplica $2 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Passaggio 3.5.5.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{0}{4 \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Passaggio 3.5.5.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\frac{0}{4 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Passaggio 3.5.6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{0}{4 + (1 + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Passaggio 3.5.7

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{0}{4 + 2 ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Passaggio 3.5.8

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\frac{0}{4 + 2 (1 + 1) (- (- 1))}$

Passaggio 3.5.9

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{0}{4 + 2 \cdot 2 (- (- 1))}$

Passaggio 3.5.10

Moltiplica $2 \cdot 2 (- (- 1))$ .

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Passaggio 3.5.10.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{0}{4 + 4 (- (- 1))}$

Passaggio 3.5.10.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{0}{4 + 4 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.10.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\frac{0}{4 + 4}$

Passaggio 3.5.11

Somma $4$ e $4$ .

$\frac{0}{8}$

Passaggio 3.6

Dividi $0$ per $8$ .

$0$