Precalcolo Esempi

$f (x) = \cot (x)$ , $[\frac{3 π}{4}, \frac{5 π}{4}]$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \cot (x)$ come un'equazione.

$y = \cot (x)$

Passaggio 2

Sostituisci usando la formula del tasso medio di variazione.

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Passaggio 2.1

È possibile trovare il tasso medio di variazione di una funzione calcolando la variazione dei valori $y$ dei due punti diviso per la variazione dei valori $x$ dei due punti.

$\frac{f (\frac{5 π}{4}) - f (\frac{3 π}{4})}{(\frac{5 π}{4}) - (\frac{3 π}{4})}$

Passaggio 2.2

Sostituisci l'equazione $y = \cot (x)$ a $f (\frac{5 π}{4})$ e $f (\frac{3 π}{4})$ , sostituendo $x$ nella funzione con il valore $x$ corrispondente.

$\frac{(\cot (\frac{5 π}{4})) - (\cot (\frac{3 π}{4}))}{(\frac{5 π}{4}) - (\frac{3 π}{4})}$

Passaggio 3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.1

Moltiplica il numeratore e il denominatore della frazione per $4$ .

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Passaggio 3.1.1

Moltiplica $\frac{\cot (\frac{5 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4})}{\frac{5 π}{4} - \frac{3 π}{4}}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{4} \cdot \frac{\cot (\frac{5 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4})}{\frac{5 π}{4} - \frac{3 π}{4}}$

Passaggio 3.1.2

Combina.

$\frac{4 (\cot (\frac{5 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}))}{4 (\frac{5 π}{4} - \frac{3 π}{4})}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 \cot (\frac{5 π}{4}) + 4 (- \cot (\frac{3 π}{4}))}{4 \frac{5 π}{4} + 4 (- \frac{3 π}{4})}$

Passaggio 3.3

Semplifica cancellando.

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Passaggio 3.3.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \cot (\frac{5 π}{4}) + 4 (- \cot (\frac{3 π}{4}))}{4 \frac{5 π}{4} + 4 (- \frac{3 π}{4})}$

Passaggio 3.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 \cot (\frac{5 π}{4}) + 4 (- \cot (\frac{3 π}{4}))}{5 π + 4 (- \frac{3 π}{4})}$

Passaggio 3.3.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{3 π}{4}$ nel numeratore.

$\frac{4 \cot (\frac{5 π}{4}) + 4 (- \cot (\frac{3 π}{4}))}{5 π + 4 \frac{- 3 π}{4}}$

Passaggio 3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \cot (\frac{5 π}{4}) + 4 (- \cot (\frac{3 π}{4}))}{5 π + 4 \frac{- 3 π}{4}}$

Passaggio 3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 \cot (\frac{5 π}{4}) + 4 (- \cot (\frac{3 π}{4}))}{5 π - 3 π}$

Passaggio 3.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.4.1

Scomponi $4$ da $4 \cot (\frac{5 π}{4}) + 4 (- \cot (\frac{3 π}{4}))$ .

$\frac{4 (\cot (\frac{5 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}))}{5 π - 3 π}$

Passaggio 3.4.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\frac{4 (\cot (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}))}{5 π - 3 π}$

Passaggio 3.4.3

Il valore esatto di $\cot (\frac{π}{4})$ è $1$ .

$\frac{4 (1 - \cot (\frac{3 π}{4}))}{5 π - 3 π}$

Passaggio 3.4.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la cotangente è negativa nel secondo quadrante.

$\frac{4 (1 - - \cot (\frac{π}{4}))}{5 π - 3 π}$

Passaggio 3.4.5

Il valore esatto di $\cot (\frac{π}{4})$ è $1$ .

$\frac{4 (1 - (- 1 \cdot 1))}{5 π - 3 π}$

Passaggio 3.4.6

Moltiplica $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Passaggio 3.4.6.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{4 (1 - - 1)}{5 π - 3 π}$

Passaggio 3.4.6.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{4 (1 + 1)}{5 π - 3 π}$

Passaggio 3.4.7

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{4 \cdot 2}{5 π - 3 π}$

Passaggio 3.5

Semplifica i termini.

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Passaggio 3.5.1

Sottrai $3 π$ da $5 π$ .

$\frac{4 \cdot 2}{2 π}$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{8}{2 π}$

Passaggio 3.5.3

Elimina il fattore comune di $8$ e $2$ .

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Passaggio 3.5.3.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 π}$

Passaggio 3.5.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.5.3.2.1

Scomponi $2$ da $2 π$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (π)}$

Passaggio 3.5.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 4}{2 π}$

Passaggio 3.5.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4}{π}$