Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{2 x - 1}{3 x + 5}$

Passaggio 1

Considera la formula del rapporto incrementale.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Passaggio 2

Trova i componenti della definizione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Risolvi la funzione per $x = x + h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $x + h$ nell'espressione.

$f (x + h) = \frac{2 (x + h) - 1}{3 (x + h) + 5}$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = \frac{2 x + 2 h - 1}{3 (x + h) + 5}$

Passaggio 2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = \frac{2 x + 2 h - 1}{3 x + 3 h + 5}$

Passaggio 2.1.2.3

La risposta finale è $\frac{2 x + 2 h - 1}{3 x + 3 h + 5}$ .

$\frac{2 x + 2 h - 1}{3 x + 3 h + 5}$

Passaggio 2.2

Trova i componenti della definizione.

$f (x + h) = \frac{2 x + 2 h - 1}{3 x + 3 h + 5}$

$f (x) = \frac{2 x - 1}{3 x + 5}$

$f (x + h) = \frac{2 x + 2 h - 1}{3 x + 3 h + 5}$

$f (x) = \frac{2 x - 1}{3 x + 5}$

Passaggio 3

Collega i componenti.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{2 x + 2 h - 1}{3 x + 3 h + 5} - (\frac{2 x - 1}{3 x + 5})}{h}$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Per scrivere $\frac{2 x + 2 h - 1}{3 x + 3 h + 5}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3 x + 5}{3 x + 5}$ .

$\frac{\frac{2 x + 2 h - 1}{3 x + 3 h + 5} \cdot \frac{3 x + 5}{3 x + 5} - \frac{2 x - 1}{3 x + 5}}{h}$

Passaggio 4.1.2

Per scrivere $- \frac{2 x - 1}{3 x + 5}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3 x + 3 h + 5}{3 x + 3 h + 5}$ .

$\frac{\frac{2 x + 2 h - 1}{3 x + 3 h + 5} \cdot \frac{3 x + 5}{3 x + 5} - \frac{2 x - 1}{3 x + 5} \cdot \frac{3 x + 3 h + 5}{3 x + 3 h + 5}}{h}$

Passaggio 4.1.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Moltiplica $\frac{2 x + 2 h - 1}{3 x + 3 h + 5}$ per $\frac{3 x + 5}{3 x + 5}$ .

$\frac{\frac{(2 x + 2 h - 1) (3 x + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)} - \frac{2 x - 1}{3 x + 5} \cdot \frac{3 x + 3 h + 5}{3 x + 3 h + 5}}{h}$

Passaggio 4.1.3.2

Moltiplica $\frac{2 x - 1}{3 x + 5}$ per $\frac{3 x + 3 h + 5}{3 x + 3 h + 5}$ .

$\frac{\frac{(2 x + 2 h - 1) (3 x + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)} - \frac{(2 x - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 5) (3 x + 3 h + 5)}}{h}$

Passaggio 4.1.3.3

Riordina i fattori di $(3 x + 5) (3 x + 3 h + 5)$ .

$\frac{\frac{(2 x + 2 h - 1) (3 x + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)} - \frac{(2 x - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Passaggio 4.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{(2 x + 2 h - 1) (3 x + 5) - (2 x - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Passaggio 4.1.5

Riscrivi $\frac{(2 x + 2 h - 1) (3 x + 5) - (2 x - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Espandi $(2 x + 2 h - 1) (3 x + 5)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$\frac{\frac{2 x (3 x) + 2 x \cdot 5 + 2 h (3 x) + 2 h \cdot 5 - 1 (3 x) - 1 \cdot 5 - (2 x - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\frac{2 \cdot 3 x \cdot x + 2 x \cdot 5 + 2 h (3 x) + 2 h \cdot 5 - 1 (3 x) - 1 \cdot 5 - (2 x - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.2.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 3 (x \cdot x) + 2 x \cdot 5 + 2 h (3 x) + 2 h \cdot 5 - 1 (3 x) - 1 \cdot 5 - (2 x - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.2.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 3 x^{2} + 2 x \cdot 5 + 2 h (3 x) + 2 h \cdot 5 - 1 (3 x) - 1 \cdot 5 - (2 x - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.2.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 2 x \cdot 5 + 2 h (3 x) + 2 h \cdot 5 - 1 (3 x) - 1 \cdot 5 - (2 x - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.2.4

Moltiplica $5$ per $2$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 10 x + 2 h (3 x) + 2 h \cdot 5 - 1 (3 x) - 1 \cdot 5 - (2 x - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.2.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\frac{6 x^{2} + 10 x + 2 \cdot 3 h x + 2 h \cdot 5 - 1 (3 x) - 1 \cdot 5 - (2 x - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.2.6

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 10 x + 6 h x + 2 h \cdot 5 - 1 (3 x) - 1 \cdot 5 - (2 x - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.2.7

Moltiplica $5$ per $2$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 10 x + 6 h x + 10 h - 1 (3 x) - 1 \cdot 5 - (2 x - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.2.8

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 10 x + 6 h x + 10 h - 3 x - 1 \cdot 5 - (2 x - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.2.9

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 10 x + 6 h x + 10 h - 3 x - 5 - (2 x - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.3

Sottrai $3 x$ da $10 x$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 7 x + 6 h x + 10 h - 5 - (2 x - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\frac{6 x^{2} + 7 x + 6 h x + 10 h - 5 + (- (2 x) - - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 7 x + 6 h x + 10 h - 5 + (- 2 x - - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 7 x + 6 h x + 10 h - 5 + (- 2 x + 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.7

Espandi $(- 2 x + 1) (3 x + 3 h + 5)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$\frac{\frac{6 x^{2} + 7 x + 6 h x + 10 h - 5 - 2 x (3 x) - 2 x (3 h) - 2 x \cdot 5 + 1 (3 x) + 1 (3 h) + 1 \cdot 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.8

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.8.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\frac{6 x^{2} + 7 x + 6 h x + 10 h - 5 - 2 \cdot 3 x \cdot x - 2 x (3 h) - 2 x \cdot 5 + 1 (3 x) + 1 (3 h) + 1 \cdot 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.8.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.8.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 7 x + 6 h x + 10 h - 5 - 2 \cdot 3 (x \cdot x) - 2 x (3 h) - 2 x \cdot 5 + 1 (3 x) + 1 (3 h) + 1 \cdot 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.8.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 7 x + 6 h x + 10 h - 5 - 2 \cdot 3 x^{2} - 2 x (3 h) - 2 x \cdot 5 + 1 (3 x) + 1 (3 h) + 1 \cdot 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.8.3

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 7 x + 6 h x + 10 h - 5 - 6 x^{2} - 2 x (3 h) - 2 x \cdot 5 + 1 (3 x) + 1 (3 h) + 1 \cdot 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.8.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\frac{6 x^{2} + 7 x + 6 h x + 10 h - 5 - 6 x^{2} - 2 \cdot 3 x h - 2 x \cdot 5 + 1 (3 x) + 1 (3 h) + 1 \cdot 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.8.5

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 7 x + 6 h x + 10 h - 5 - 6 x^{2} - 6 x h - 2 x \cdot 5 + 1 (3 x) + 1 (3 h) + 1 \cdot 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.8.6

Moltiplica $5$ per $- 2$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 7 x + 6 h x + 10 h - 5 - 6 x^{2} - 6 x h - 10 x + 1 (3 x) + 1 (3 h) + 1 \cdot 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.8.7

Moltiplica $3 x$ per $1$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 7 x + 6 h x + 10 h - 5 - 6 x^{2} - 6 x h - 10 x + 3 x + 1 (3 h) + 1 \cdot 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.8.8

Moltiplica $3 h$ per $1$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 7 x + 6 h x + 10 h - 5 - 6 x^{2} - 6 x h - 10 x + 3 x + 3 h + 1 \cdot 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.8.9

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 7 x + 6 h x + 10 h - 5 - 6 x^{2} - 6 x h - 10 x + 3 x + 3 h + 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.9

Somma $- 10 x$ e $3 x$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 7 x + 6 h x + 10 h - 5 - 6 x^{2} - 6 x h - 7 x + 3 h + 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.10

Sottrai $6 x^{2}$ da $6 x^{2}$ .

$\frac{\frac{7 x + 6 h x + 10 h - 5 + 0 - 6 x h - 7 x + 3 h + 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.11

Somma $7 x$ e $0$ .

$\frac{\frac{7 x + 6 h x + 10 h - 5 - 6 x h - 7 x + 3 h + 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.12

Sottrai $7 x$ da $7 x$ .

$\frac{\frac{6 h x + 10 h - 5 - 6 x h + 0 + 3 h + 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.13

Sottrai $6 x h$ da $6 h x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.13.1

Sposta $h$ .

$\frac{\frac{10 h - 5 + 6 x h - 6 x h + 0 + 3 h + 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.13.2

Sottrai $6 x h$ da $6 x h$ .

$\frac{\frac{10 h - 5 + 0 + 0 + 3 h + 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.14

Somma $10 h$ e $0$ .

$\frac{\frac{10 h - 5 + 0 + 3 h + 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.15

Somma $10 h$ e $0$ .

$\frac{\frac{10 h - 5 + 3 h + 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.16

Somma $10 h$ e $3 h$ .

$\frac{\frac{13 h - 5 + 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.17

Somma $- 5$ e $5$ .

$\frac{\frac{13 h + 0}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.18

Somma $13 h$ e $0$ .

$\frac{\frac{13 h}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Passaggio 4.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{13 h}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)} \cdot \frac{1}{h}$

Passaggio 4.3

Elimina il fattore comune di $h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Scomponi $h$ da $13 h$ .

$\frac{h \cdot 13}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)} \cdot \frac{1}{h}$

Passaggio 4.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{h \cdot 13}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)} \cdot \frac{1}{h}$

Passaggio 4.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{13}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}$

Passaggio 5