Precalcolo Esempi

$f (x) = \cot (x)$ , $[\frac{2 π}{3}, \frac{3 π}{2}]$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \cot (x)$ come un'equazione.

$y = \cot (x)$

Passaggio 2

Sostituisci usando la formula del tasso medio di variazione.

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Passaggio 2.1

È possibile trovare il tasso medio di variazione di una funzione calcolando la variazione dei valori $y$ dei due punti diviso per la variazione dei valori $x$ dei due punti.

$\frac{f (\frac{3 π}{2}) - f (\frac{2 π}{3})}{(\frac{3 π}{2}) - (\frac{2 π}{3})}$

Passaggio 2.2

Sostituisci l'equazione $y = \cot (x)$ a $f (\frac{3 π}{2})$ e $f (\frac{2 π}{3})$ , sostituendo $x$ nella funzione con il valore $x$ corrispondente.

$\frac{(\cot (\frac{3 π}{2})) - (\cot (\frac{2 π}{3}))}{(\frac{3 π}{2}) - (\frac{2 π}{3})}$

Passaggio 3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.1

Moltiplica il numeratore e il denominatore della frazione per $6$ .

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Passaggio 3.1.1

Moltiplica $\frac{\cot (\frac{3 π}{2}) - \cot (\frac{2 π}{3})}{\frac{3 π}{2} - \frac{2 π}{3}}$ per $\frac{6}{6}$ .

$\frac{6}{6} \cdot \frac{\cot (\frac{3 π}{2}) - \cot (\frac{2 π}{3})}{\frac{3 π}{2} - \frac{2 π}{3}}$

Passaggio 3.1.2

Combina.

$\frac{6 (\cot (\frac{3 π}{2}) - \cot (\frac{2 π}{3}))}{6 (\frac{3 π}{2} - \frac{2 π}{3})}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{2 π}{3}))}{6 \frac{3 π}{2} + 6 (- \frac{2 π}{3})}$

Passaggio 3.3

Semplifica cancellando.

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Passaggio 3.3.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{2 π}{3}))}{2 (3) \frac{3 π}{2} + 6 (- \frac{2 π}{3})}$

Passaggio 3.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{2 π}{3}))}{2 \cdot 3 \frac{3 π}{2} + 6 (- \frac{2 π}{3})}$

Passaggio 3.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{2 π}{3}))}{3 (3 π) + 6 (- \frac{2 π}{3})}$

Passaggio 3.3.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{2 π}{3}))}{9 π + 6 (- \frac{2 π}{3})}$

Passaggio 3.3.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 3.3.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2 π}{3}$ nel numeratore.

$\frac{6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{2 π}{3}))}{9 π + 6 \frac{- 2 π}{3}}$

Passaggio 3.3.3.2

Scomponi $3$ da $6$ .

$\frac{6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{2 π}{3}))}{9 π + 3 (2) \frac{- 2 π}{3}}$

Passaggio 3.3.3.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{2 π}{3}))}{9 π + 3 \cdot 2 \frac{- 2 π}{3}}$

Passaggio 3.3.3.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{2 π}{3}))}{9 π + 2 (- 2 π)}$

Passaggio 3.3.4

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$\frac{6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{2 π}{3}))}{9 π - 4 π}$

Passaggio 3.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.4.1

Scomponi $6$ da $6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{2 π}{3}))$ .

$\frac{6 (\cot (\frac{3 π}{2}) - \cot (\frac{2 π}{3}))}{9 π - 4 π}$

Passaggio 3.4.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la cotangente è negativa nel quarto quadrante.

$\frac{6 (- \cot (\frac{π}{2}) - \cot (\frac{2 π}{3}))}{9 π - 4 π}$

Passaggio 3.4.3

Il valore esatto di $\cot (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$\frac{6 (- 0 - \cot (\frac{2 π}{3}))}{9 π - 4 π}$

Passaggio 3.4.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{6 (0 - \cot (\frac{2 π}{3}))}{9 π - 4 π}$

Passaggio 3.4.5

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la cotangente è negativa nel secondo quadrante.

$\frac{6 (0 - - \cot (\frac{π}{3}))}{9 π - 4 π}$

Passaggio 3.4.6

Il valore esatto di $\cot (\frac{π}{3})$ è $\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{6 (0 - - \frac{1}{\sqrt{3}})}{9 π - 4 π}$

Passaggio 3.4.7

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{6 (0 - - (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}))}{9 π - 4 π}$

Passaggio 3.4.8

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.4.8.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{6 (0 - - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})}{9 π - 4 π}$

Passaggio 3.4.8.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{6 (0 - - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}})}{9 π - 4 π}$

Passaggio 3.4.8.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{6 (0 - - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}})}{9 π - 4 π}$

Passaggio 3.4.8.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{6 (0 - - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}})}{9 π - 4 π}$

Passaggio 3.4.8.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{6 (0 - - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}})}{9 π - 4 π}$

Passaggio 3.4.8.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

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Passaggio 3.4.8.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{6 (0 - - \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}})}{9 π - 4 π}$

Passaggio 3.4.8.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6 (0 - - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}{9 π - 4 π}$

Passaggio 3.4.8.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{6 (0 - - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})}{9 π - 4 π}$

Passaggio 3.4.8.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.4.8.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 (0 - - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})}{9 π - 4 π}$

Passaggio 3.4.8.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{6 (0 - - \frac{\sqrt{3}}{3^{1}})}{9 π - 4 π}$

Passaggio 3.4.8.6.5

Calcola l'esponente.

$\frac{6 (0 - - \frac{\sqrt{3}}{3})}{9 π - 4 π}$

Passaggio 3.4.9

Moltiplica $- - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Passaggio 3.4.9.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{6 (0 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3})}{9 π - 4 π}$

Passaggio 3.4.9.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{3}$ per $1$ .

$\frac{6 (0 + \frac{\sqrt{3}}{3})}{9 π - 4 π}$

Passaggio 3.4.10

Somma $0$ e $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{6 \frac{\sqrt{3}}{3}}{9 π - 4 π}$

Passaggio 3.5

Semplifica i termini.

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Passaggio 3.5.1

Sottrai $4 π$ da $9 π$ .

$\frac{6 \frac{\sqrt{3}}{3}}{5 π}$

Passaggio 3.5.2

$6$ e $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{6 \sqrt{3}}{3}}{5 π}$

Passaggio 3.6

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 3.6.1

Riduci l'espressione $\frac{6 \sqrt{3}}{3}$ eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 3.6.1.1

Scomponi $3$ da $6 \sqrt{3}$ .

$\frac{\frac{3 (2 \sqrt{3})}{3}}{5 π}$

Passaggio 3.6.1.2

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{\frac{3 (2 \sqrt{3})}{3 (1)}}{5 π}$

Passaggio 3.6.1.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{3 (2 \sqrt{3})}{3 \cdot 1}}{5 π}$

Passaggio 3.6.1.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{1}}{5 π}$

Passaggio 3.6.2

Dividi $2 \sqrt{3}$ per $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{5 π}$

Passaggio 4

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{2 \sqrt{3}}{5 π}$

Forma decimale:

$0.22053155 \dots$