Precalcolo Esempi

$f (x) = x^{2} + 2 x - 1$ ;, $[- 3, - \frac{5}{2}]$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = x^{2} + 2 x - 1$ come un'equazione.

$y = x^{2} + 2 x - 1$

Passaggio 2

Sostituisci usando la formula del tasso medio di variazione.

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Passaggio 2.1

È possibile trovare il tasso medio di variazione di una funzione calcolando la variazione dei valori $y$ dei due punti diviso per la variazione dei valori $x$ dei due punti.

$\frac{f (- \frac{5}{2}) - f (- 3)}{(- \frac{5}{2}) - (- 3)}$

Passaggio 2.2

Sostituisci l'equazione $y = x^{2} + 2 x - 1$ a $f (- \frac{5}{2})$ e $f (- 3)$ , sostituendo $x$ nella funzione con il valore $x$ corrispondente.

$\frac{({(- \frac{5}{2})}^{2} + 2 (- \frac{5}{2}) - 1) - ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1)}{(- \frac{5}{2}) - (- 3)}$

Passaggio 3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.1

Moltiplica il numeratore e il denominatore della frazione per $2$ .

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Passaggio 3.1.1

Moltiplica $\frac{{(- \frac{5}{2})}^{2} + 2 (- \frac{5}{2}) - 1 - ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1)}{- \frac{5}{2} - (- 3)}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{{(- \frac{5}{2})}^{2} + 2 (- \frac{5}{2}) - 1 - ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1)}{- \frac{5}{2} - (- 3)}$

Passaggio 3.1.2

Combina.

$\frac{2 ({(- \frac{5}{2})}^{2} + 2 (- \frac{5}{2}) - 1 - ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{2 (- \frac{5}{2} - (- 3))}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 2 (2 (- \frac{5}{2})) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{2 (- \frac{5}{2}) + 2 (- (- 3))}$

Passaggio 3.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{5}{2}$ nel numeratore.

$\frac{2 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 2 (2 (- \frac{5}{2})) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{2 (\frac{- 5}{2}) + 2 (- (- 3))}$

Passaggio 3.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 2 (2 (- \frac{5}{2})) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{2 (\frac{- 5}{2}) + 2 (- (- 3))}$

Passaggio 3.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 2 (2 (- \frac{5}{2})) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Passaggio 3.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.4.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

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Passaggio 3.4.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{5}{2}$ .

$\frac{2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2}) + 2 \cdot 2 (- \frac{5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Passaggio 3.4.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{5}{2}$ .

$\frac{2 ({(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{2^{2}}) + 2 \cdot 2 (- \frac{5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Passaggio 3.4.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\frac{2 (1 \frac{5^{2}}{2^{2}}) + 2 \cdot 2 (- \frac{5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$\frac{2 \frac{5^{2}}{2^{2}} + 2 \cdot 2 (- \frac{5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Passaggio 3.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.4.4.1

Scomponi $2$ da $2^{2}$ .

$\frac{2 \frac{5^{2}}{2 \cdot 2} + 2 \cdot 2 (- \frac{5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Passaggio 3.4.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \frac{5^{2}}{2 \cdot 2} + 2 \cdot 2 (- \frac{5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Passaggio 3.4.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{5^{2}}{2} + 2 \cdot 2 (- \frac{5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Passaggio 3.4.5

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\frac{25}{2} + 2 \cdot 2 (- \frac{5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Passaggio 3.4.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\frac{25}{2} + 4 (- \frac{5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Passaggio 3.4.7

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.4.7.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{5}{2}$ nel numeratore.

$\frac{\frac{25}{2} + 4 (\frac{- 5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Passaggio 3.4.7.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{\frac{25}{2} + 2 (2) \frac{- 5}{2} + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Passaggio 3.4.7.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{25}{2} + 2 \cdot 2 \frac{- 5}{2} + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Passaggio 3.4.7.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{25}{2} + 2 \cdot - 5 + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Passaggio 3.4.8

Moltiplica $2$ per $- 5$ .

$\frac{\frac{25}{2} - 10 + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Passaggio 3.4.9

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{\frac{25}{2} - 10 - 2 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Passaggio 3.4.10

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.4.10.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\frac{25}{2} - 10 - 2 + 2 (- (9 + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Passaggio 3.4.10.2

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$\frac{\frac{25}{2} - 10 - 2 + 2 (- (9 - 6 - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Passaggio 3.4.11

Sottrai $6$ da $9$ .

$\frac{\frac{25}{2} - 10 - 2 + 2 (- (3 - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Passaggio 3.4.12

Sottrai $1$ da $3$ .

$\frac{\frac{25}{2} - 10 - 2 + 2 (- 1 \cdot 2)}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Passaggio 3.4.13

Moltiplica $2 (- 1 \cdot 2)$ .

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Passaggio 3.4.13.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{\frac{25}{2} - 10 - 2 + 2 \cdot - 2}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Passaggio 3.4.13.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{\frac{25}{2} - 10 - 2 - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Passaggio 3.4.14

Per scrivere $- 10$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{25}{2} - 10 \cdot \frac{2}{2} - 2 - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Passaggio 3.4.15

$- 10$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{25}{2} + \frac{- 10 \cdot 2}{2} - 2 - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Passaggio 3.4.16

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{25 - 10 \cdot 2}{2} - 2 - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Passaggio 3.4.17

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.4.17.1

Moltiplica $- 10$ per $2$ .

$\frac{\frac{25 - 20}{2} - 2 - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Passaggio 3.4.17.2

Sottrai $20$ da $25$ .

$\frac{\frac{5}{2} - 2 - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Passaggio 3.4.18

Per scrivere $- 2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{5}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2} - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Passaggio 3.4.19

$- 2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{5}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Passaggio 3.4.20

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{5 - 2 \cdot 2}{2} - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Passaggio 3.4.21

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.4.21.1

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$\frac{\frac{5 - 4}{2} - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Passaggio 3.4.21.2

Sottrai $4$ da $5$ .

$\frac{\frac{1}{2} - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Passaggio 3.4.22

Per scrivere $- 4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} - 4 \cdot \frac{2}{2}}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Passaggio 3.4.23

$- 4$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2}}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Passaggio 3.4.24

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{1 - 4 \cdot 2}{2}}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Passaggio 3.4.25

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.4.25.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$\frac{\frac{1 - 8}{2}}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Passaggio 3.4.25.2

Sottrai $8$ da $1$ .

$\frac{\frac{- 7}{2}}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Passaggio 3.4.26

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{- \frac{7}{2}}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Passaggio 3.5

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.5.1

Moltiplica $2 (- (- 3))$ .

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Passaggio 3.5.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$\frac{- \frac{7}{2}}{- 5 + 2 \cdot 3}$

Passaggio 3.5.1.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{- \frac{7}{2}}{- 5 + 6}$

Passaggio 3.5.2

Somma $- 5$ e $6$ .

$\frac{- \frac{7}{2}}{1}$

Passaggio 3.6

Dividi $- \frac{7}{2}$ per $1$ .

$- \frac{7}{2}$