Precalcolo Esempi

$y = 0.03 x^{2} + 11 x + 1$

Passaggio 1

Scrivi $y = 0.03 x^{2} + 11 x + 1$ come funzione.

$f (x) = 0.03 x^{2} + 11 x + 1$

Passaggio 2

Considera la formula del rapporto incrementale.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Passaggio 3

Trova i componenti della definizione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Risolvi la funzione per $x = x + h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $x + h$ nell'espressione.

$f (x + h) = 0.03 {(x + h)}^{2} + 11 (x + h) + 1$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Riscrivi ${(x + h)}^{2}$ come $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 0.03 ((x + h) (x + h)) + 11 (x + h) + 1$

Passaggio 3.1.2.1.2

Espandi $(x + h) (x + h)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = 0.03 (x (x + h) + h (x + h)) + 11 (x + h) + 1$

Passaggio 3.1.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = 0.03 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + 11 (x + h) + 1$

Passaggio 3.1.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = 0.03 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 11 (x + h) + 1$

Passaggio 3.1.2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f (x + h) = 0.03 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + 11 (x + h) + 1$

Passaggio 3.1.2.1.3.1.2

Moltiplica $h$ per $h$ .

$f (x + h) = 0.03 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 11 (x + h) + 1$

Passaggio 3.1.2.1.3.2

Somma $x h$ e $h x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.3.2.1

Riordina $x$ e $h$ .

$f (x + h) = 0.03 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + 11 (x + h) + 1$

Passaggio 3.1.2.1.3.2.2

Somma $h x$ e $h x$ .

$f (x + h) = 0.03 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 11 (x + h) + 1$

Passaggio 3.1.2.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = 0.03 x^{2} + 0.03 (2 h x) + 0.03 h^{2} + 11 (x + h) + 1$

Passaggio 3.1.2.1.5

Moltiplica $2$ per $0.03$ .

$f (x + h) = 0.03 x^{2} + 0.06 (h x) + 0.03 h^{2} + 11 (x + h) + 1$

Passaggio 3.1.2.1.6

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = 0.03 x^{2} + 0.06 h x + 0.03 h^{2} + 11 x + 11 h + 1$

Passaggio 3.1.2.2

La risposta finale è $0.03 x^{2} + 0.06 h x + 0.03 h^{2} + 11 x + 11 h + 1$ .

$0.03 x^{2} + 0.06 h x + 0.03 h^{2} + 11 x + 11 h + 1$

Passaggio 3.2

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sposta $11 x$ .

$0.03 x^{2} + 0.06 h x + 0.03 h^{2} + 11 h + 11 x + 1$

Passaggio 3.2.2

Sposta $0.03 x^{2}$ .

$0.06 h x + 0.03 h^{2} + 0.03 x^{2} + 11 h + 11 x + 1$

Passaggio 3.2.3

Riordina $0.06 h x$ e $0.03 h^{2}$ .

$0.03 h^{2} + 0.06 h x + 0.03 x^{2} + 11 h + 11 x + 1$

Passaggio 3.3

Trova i componenti della definizione.

$f (x + h) = 0.03 h^{2} + 0.06 h x + 0.03 x^{2} + 11 h + 11 x + 1$

$f (x) = 0.03 x^{2} + 11 x + 1$

$f (x + h) = 0.03 h^{2} + 0.06 h x + 0.03 x^{2} + 11 h + 11 x + 1$

$f (x) = 0.03 x^{2} + 11 x + 1$

Passaggio 4

Collega i componenti.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{0.03 h^{2} + 0.06 h x + 0.03 x^{2} + 11 h + 11 x + 1 - (0.03 x^{2} + 11 x + 1)}{h}$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Scomponi $0.01$ da $0.03 h^{2} + 0.06 h x + 0.03 x^{2} + 11 h + 11 x + 1 - (0.03 x^{2} + 11 x + 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

Sposta $h$ .

$\frac{0.03 h^{2} + 0.06 x h + 0.03 x^{2} + 11 h + 11 x + 1 - (0.03 x^{2} + 11 x + 1)}{h}$

Passaggio 5.1.1.2

Scomponi $0.01$ da $0.03 h^{2}$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2}) + 0.06 x h + 0.03 x^{2} + 11 h + 11 x + 1 - (0.03 x^{2} + 11 x + 1)}{h}$

Passaggio 5.1.1.3

Scomponi $0.01$ da $0.06 x h$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2}) + 0.01 (6 x h) + 0.03 x^{2} + 11 h + 11 x + 1 - (0.03 x^{2} + 11 x + 1)}{h}$

Passaggio 5.1.1.4

Scomponi $0.01$ da $0.03 x^{2}$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2}) + 0.01 (6 x h) + 0.01 (3 x^{2}) + 11 h + 11 x + 1 - (0.03 x^{2} + 11 x + 1)}{h}$

Passaggio 5.1.1.5

Scomponi $0.01$ da $11 h$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2}) + 0.01 (6 x h) + 0.01 (3 x^{2}) + 0.01 (1100 h) + 11 x + 1 - (0.03 x^{2} + 11 x + 1)}{h}$

Passaggio 5.1.1.6

Scomponi $0.01$ da $11 x$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2}) + 0.01 (6 x h) + 0.01 (3 x^{2}) + 0.01 (1100 h) + 0.01 (1100 x) + 1 - (0.03 x^{2} + 11 x + 1)}{h}$

Passaggio 5.1.1.7

Scomponi $0.01$ da $1$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2}) + 0.01 (6 x h) + 0.01 (3 x^{2}) + 0.01 (1100 h) + 0.01 (1100 x) + 0.01 (100) - (0.03 x^{2} + 11 x + 1)}{h}$

Passaggio 5.1.1.8

Scomponi $0.01$ da $- (0.03 x^{2} + 11 x + 1)$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2}) + 0.01 (6 x h) + 0.01 (3 x^{2}) + 0.01 (1100 h) + 0.01 (1100 x) + 0.01 (100) + 0.01 (- 100 (0.03 x^{2} + 11 x + 1))}{h}$

Passaggio 5.1.1.9

Scomponi $0.01$ da $0.01 (3 h^{2}) + 0.01 (6 x h)$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h) + 0.01 (3 x^{2}) + 0.01 (1100 h) + 0.01 (1100 x) + 0.01 (100) + 0.01 (- 100 (0.03 x^{2} + 11 x + 1))}{h}$

Passaggio 5.1.1.10

Scomponi $0.01$ da $0.01 (3 h^{2} + 6 x h) + 0.01 (3 x^{2})$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 3 x^{2}) + 0.01 (1100 h) + 0.01 (1100 x) + 0.01 (100) + 0.01 (- 100 (0.03 x^{2} + 11 x + 1))}{h}$

Passaggio 5.1.1.11

Scomponi $0.01$ da $0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 3 x^{2}) + 0.01 (1100 h)$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 3 x^{2} + 1100 h) + 0.01 (1100 x) + 0.01 (100) + 0.01 (- 100 (0.03 x^{2} + 11 x + 1))}{h}$

Passaggio 5.1.1.12

Scomponi $0.01$ da $0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 3 x^{2} + 1100 h) + 0.01 (1100 x)$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 3 x^{2} + 1100 h + 1100 x) + 0.01 (100) + 0.01 (- 100 (0.03 x^{2} + 11 x + 1))}{h}$

Passaggio 5.1.1.13

Scomponi $0.01$ da $0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 3 x^{2} + 1100 h + 1100 x) + 0.01 (100)$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 3 x^{2} + 1100 h + 1100 x + 100) + 0.01 (- 100 (0.03 x^{2} + 11 x + 1))}{h}$

Passaggio 5.1.1.14

Scomponi $0.01$ da $0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 3 x^{2} + 1100 h + 1100 x + 100) + 0.01 (- 100 (0.03 x^{2} + 11 x + 1))$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 3 x^{2} + 1100 h + 1100 x + 100 - 100 (0.03 x^{2} + 11 x + 1))}{h}$

Passaggio 5.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 3 x^{2} + 1100 h + 1100 x + 100 - 100 (0.03 x^{2}) - 100 (11 x) - 100 \cdot 1)}{h}$

Passaggio 5.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Moltiplica $0.03$ per $- 100$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 3 x^{2} + 1100 h + 1100 x + 100 - 3 x^{2} - 100 (11 x) - 100 \cdot 1)}{h}$

Passaggio 5.1.3.2

Moltiplica $11$ per $- 100$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 3 x^{2} + 1100 h + 1100 x + 100 - 3 x^{2} - 1100 x - 100 \cdot 1)}{h}$

Passaggio 5.1.3.3

Moltiplica $- 100$ per $1$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 3 x^{2} + 1100 h + 1100 x + 100 - 3 x^{2} - 1100 x - 100)}{h}$

Passaggio 5.1.4

Sottrai $3 x^{2}$ da $3 x^{2}$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 0 x^{2} + 1100 h + 1100 x + 100 - 1100 x - 100)}{h}$

Passaggio 5.1.5

Sottrai $1100 x$ da $1100 x$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 0 x^{2} + 1100 h + 0 + 100 - 100)}{h}$

Passaggio 5.1.6

Somma $3 h^{2}$ e $0$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 0 x^{2} + 1100 h + 100 - 100)}{h}$

Passaggio 5.1.7

Sottrai $100$ da $100$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 0 x^{2} + 1100 h + 0)}{h}$

Passaggio 5.1.8

Somma $3 h^{2} + 6 x h + 0 x^{2} + 1100 h$ e $0$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 0 x^{2} + 1100 h)}{h}$

Passaggio 5.1.9

Riscrivi $3 h^{2} + 6 x h + 0 x^{2} + 1100 h$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.9.1

Scomponi $3 h$ da $3 h^{2} + 6 x h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.9.1.1

Scomponi $3 h$ da $3 h^{2}$ .

$\frac{0.01 (3 h \cdot h + 6 x h + 0 x^{2} + 1100 h)}{h}$

Passaggio 5.1.9.1.2

Scomponi $3 h$ da $6 x h$ .

$\frac{0.01 (3 h \cdot h + 3 h (2 x) + 0 x^{2} + 1100 h)}{h}$

Passaggio 5.1.9.1.3

Scomponi $3 h$ da $3 h \cdot h + 3 h (2 x)$ .

$\frac{0.01 (3 h (h + 2 x) + 0 x^{2} + 1100 h)}{h}$

Passaggio 5.1.9.2

Scomponi $1100$ da $0 x^{2} + 1100 h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.9.2.1

Scomponi $1100$ da $0 x^{2}$ .

$\frac{0.01 (3 h (h + 2 x) + 1100 (0 x^{2}) + 1100 h)}{h}$

Passaggio 5.1.9.2.2

Scomponi $1100$ da $1100 h$ .

$\frac{0.01 (3 h (h + 2 x) + 1100 (0 x^{2}) + 1100 h)}{h}$

Passaggio 5.1.9.2.3

Scomponi $1100$ da $1100 (0 x^{2}) + 1100 h$ .

$\frac{0.01 (3 h (h + 2 x) + 1100 (0 x^{2} + h))}{h}$

Passaggio 5.1.9.3

Moltiplica $0$ per $x^{2}$ .

$\frac{0.01 (3 h (h + 2 x) + 1100 (0 + h))}{h}$

Passaggio 5.1.9.4

Somma $0$ e $h$ .

$\frac{0.01 (3 h (h + 2 x) + 1100 h)}{h}$

Passaggio 5.1.9.5

Scomponi $h$ da $3 h (h + 2 x) + 1100 h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.9.5.1

Scomponi $h$ da $3 h (h + 2 x)$ .

$\frac{0.01 (h (3 (h + 2 x)) + 1100 h)}{h}$

Passaggio 5.1.9.5.2

Scomponi $h$ da $1100 h$ .

$\frac{0.01 (h (3 (h + 2 x)) + h \cdot 1100)}{h}$

Passaggio 5.1.9.5.3

Scomponi $h$ da $h (3 (h + 2 x)) + h \cdot 1100$ .

$\frac{0.01 (h (3 (h + 2 x) + 1100))}{h}$

Passaggio 5.1.9.6

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{0.01 (h (3 h + 3 (2 x) + 1100))}{h}$

Passaggio 5.1.9.7

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{0.01 (h (3 h + 6 x + 1100))}{h}$

$\frac{0.01 h (3 h + 6 x + 1100)}{h}$

Passaggio 5.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune di $h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{0.01 h (3 h + 6 x + 1100)}{h}$

Passaggio 5.2.1.2

Dividi $0.01 (3 h + 6 x + 1100)$ per $1$ .

$0.01 (3 h + 6 x + 1100)$

Passaggio 5.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$0.01 (3 h) + 0.01 (6 x) + 0.01 \cdot 1100$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Moltiplica $3$ per $0.01$ .

$0.03 h + 0.01 (6 x) + 0.01 \cdot 1100$

Passaggio 5.3.2

Moltiplica $6$ per $0.01$ .

$0.03 h + 0.06 x + 0.01 \cdot 1100$

Passaggio 5.3.3

Moltiplica $0.01$ per $1100$ .

$0.03 h + 0.06 x + 11$

Passaggio 5.4

Riordina $0.03 h$ e $0.06 x$ .

$0.06 x + 0.03 h + 11$

Passaggio 6