Precalcolo Esempi

$y = 4 x^{2}$

Passaggio 1

Scrivi $y = 4 x^{2}$ come funzione.

$f (x) = 4 x^{2}$

Passaggio 2

Considera la formula del rapporto incrementale.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Passaggio 3

Trova i componenti della definizione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Risolvi la funzione per $x = x + h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $x + h$ nell'espressione.

$f (x + h) = 4 {(x + h)}^{2}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Riscrivi ${(x + h)}^{2}$ come $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 4 ((x + h) (x + h))$

Passaggio 3.1.2.2

Espandi $(x + h) (x + h)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = 4 (x (x + h) + h (x + h))$

Passaggio 3.1.2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = 4 (x \cdot x + x h + h (x + h))$

Passaggio 3.1.2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = 4 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)$

Passaggio 3.1.2.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f (x + h) = 4 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)$

Passaggio 3.1.2.3.1.2

Moltiplica $h$ per $h$ .

$f (x + h) = 4 (x^{2} + x h + h x + h^{2})$

Passaggio 3.1.2.3.2

Somma $x h$ e $h x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.3.2.1

Riordina $x$ e $h$ .

$f (x + h) = 4 (x^{2} + h x + h x + h^{2})$

Passaggio 3.1.2.3.2.2

Somma $h x$ e $h x$ .

$f (x + h) = 4 (x^{2} + 2 h x + h^{2})$

Passaggio 3.1.2.4

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 (2 h x) + 4 h^{2}$

Passaggio 3.1.2.5

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2}$

Passaggio 3.1.2.6

La risposta finale è $4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2}$ .

$4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2}$

Passaggio 3.2

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sposta $4 x^{2}$ .

$8 h x + 4 h^{2} + 4 x^{2}$

Passaggio 3.2.2

Riordina $8 h x$ e $4 h^{2}$ .

$4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2}$

Passaggio 3.3

Trova i componenti della definizione.

$f (x + h) = 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2}$

$f (x) = 4 x^{2}$

$f (x + h) = 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2}$

$f (x) = 4 x^{2}$

Passaggio 4

Collega i componenti.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - (4 x^{2})}{h}$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

Riscrivi $4 h^{2}$ come ${(2 h)}^{2}$ .

$\frac{{(2 h)}^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 1 \cdot 4 x^{2}}{h}$

Passaggio 5.1.1.2

Riscrivi $4 x^{2}$ come ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{{(2 h)}^{2} + 8 h x + {(2 x)}^{2} - 1 \cdot 4 x^{2}}{h}$

Passaggio 5.1.1.3

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$8 h x = 2 \cdot (2 h) \cdot (2 x)$

Passaggio 5.1.1.4

Riscrivi il polinomio.

$\frac{{(2 h)}^{2} + 2 \cdot (2 h) \cdot (2 x) + {(2 x)}^{2} - 1 \cdot 4 x^{2}}{h}$

Passaggio 5.1.1.5

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = 2 h$ e $b = 2 x$ .

$\frac{{(2 h + 2 x)}^{2} - 1 \cdot 4 x^{2}}{h}$

Passaggio 5.1.2

Riscrivi $4 x^{2}$ come ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{{(2 h + 2 x)}^{2} - {(2 x)}^{2}}{h}$

Passaggio 5.1.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 2 h + 2 x$ e $b = 2 x$ .

$\frac{(2 h + 2 x + 2 x) (2 h + 2 x - (2 x))}{h}$

Passaggio 5.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1

Somma $2 x$ e $2 x$ .

$\frac{(2 h + 4 x) (2 h + 2 x - (2 x))}{h}$

Passaggio 5.1.4.2

Scomponi $2$ da $2 h + 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.2.1

Scomponi $2$ da $2 h$ .

$\frac{(2 h + 4 x) (2 h + 2 x - (2 x))}{h}$

Passaggio 5.1.4.2.2

Scomponi $2$ da $4 x$ .

$\frac{(2 h + 2 (2 x)) (2 h + 2 x - (2 x))}{h}$

Passaggio 5.1.4.2.3

Scomponi $2$ da $2 h + 2 (2 x)$ .

$\frac{2 (h + 2 x) (2 h + 2 x - (2 x))}{h}$

Passaggio 5.1.4.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{2 (h + 2 x) (2 h + 2 x - 2 x)}{h}$

Passaggio 5.1.5

Combina i termini opposti in $2 h + 2 x - 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.5.1

Sottrai $2 x$ da $2 x$ .

$\frac{2 (h + 2 x) (2 h + 0)}{h}$

Passaggio 5.1.5.2

Somma $2 h$ e $0$ .

$\frac{2 (h + 2 x) (2 h)}{h}$

$\frac{2 (h + 2 x) \cdot 2 h}{h}$

Passaggio 5.1.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{4 (h + 2 x) h}{h}$

Passaggio 5.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune di $h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 (h + 2 x) h}{h}$

Passaggio 5.2.1.2

Dividi $4 (h + 2 x)$ per $1$ .

$4 (h + 2 x)$

Passaggio 5.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 h + 4 (2 x)$

Passaggio 5.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Moltiplica $2$ per $4$ .

$4 h + 8 x$

Passaggio 5.2.3.2

Riordina $4 h$ e $8 x$ .

$8 x + 4 h$

Passaggio 6