Precalcolo Esempi

$f (x) = \ln (3 x) + 2.5$

Passaggio 1

Considera la formula del rapporto incrementale.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Passaggio 2

Trova i componenti della definizione.

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Passaggio 2.1

Risolvi la funzione per $x = x + h$ .

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Passaggio 2.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $x + h$ nell'espressione.

$f (x + h) = \ln (3 (x + h)) + 2.5$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = \ln (3 x + 3 h) + 2.5$

Passaggio 2.1.2.2

La risposta finale è $\ln (3 x + 3 h) + 2.5$ .

$\ln (3 x + 3 h) + 2.5$

Passaggio 2.2

Trova i componenti della definizione.

$f (x + h) = \ln (3 x + 3 h) + 2.5$

$f (x) = \ln (3 x) + 2.5$

$f (x + h) = \ln (3 x + 3 h) + 2.5$

$f (x) = \ln (3 x) + 2.5$

Passaggio 3

Collega i componenti.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\ln (3 x + 3 h) + 2.5 - (\ln (3 x) + 2.5)}{h}$

Passaggio 4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\ln (3 x + 3 h) + 2.5 - \ln (3 x) - 1 \cdot 2.5}{h}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $- 1$ per $2.5$ .

$\frac{\ln (3 x + 3 h) + 2.5 - \ln (3 x) - 2.5}{h}$

Passaggio 4.3

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{3 x + 3 h}{3 x}) + 2.5 - 2.5}{h}$

Passaggio 4.4

Sottrai $2.5$ da $2.5$ .

$\frac{\ln (\frac{3 x + 3 h}{3 x}) + 0}{h}$

Passaggio 4.5

Somma $\ln (\frac{3 x + 3 h}{3 x})$ e $0$ .

$\frac{\ln (\frac{3 x + 3 h}{3 x})}{h}$

Passaggio 4.6

Elimina il fattore comune di $3 x + 3 h$ e $3$ .

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Passaggio 4.6.1

Scomponi $3$ da $3 x$ .

$\frac{\ln (\frac{3 (x) + 3 h}{3 x})}{h}$

Passaggio 4.6.2

Scomponi $3$ da $3 h$ .

$\frac{\ln (\frac{3 (x) + 3 h}{3 x})}{h}$

Passaggio 4.6.3

Scomponi $3$ da $3 (x) + 3 h$ .

$\frac{\ln (\frac{3 (x + h)}{3 x})}{h}$

Passaggio 4.6.4

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.6.4.1

Scomponi $3$ da $3 x$ .

$\frac{\ln (\frac{3 (x + h)}{3 (x)})}{h}$

Passaggio 4.6.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\ln (\frac{3 (x + h)}{3 x})}{h}$

Passaggio 4.6.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\ln (\frac{x + h}{x})}{h}$

Passaggio 5