Precalcolo Esempi

f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x + 1

$f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x + 1$

Passaggio 1

Considera la formula del rapporto incrementale.

\frac{f (x + h) - f (x)}{h}

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Passaggio 2

Trova i componenti della definizione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Risolvi la funzione per

x = x + h

$x = x + h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sostituisci la variabile

x

$x$ con

x + h

$x + h$ nell'espressione.

f (x + h) = {(x + h)}^{3} - 2 {(x + h)}^{2} + x + h + 1

$f (x + h) = {(x + h)}^{3} - 2 {(x + h)}^{2} + x + h + 1$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Rimuovi le parentesi.

f (x + h) = {(x + h)}^{3} - 2 {(x + h)}^{2} + x + h + 1

$f (x + h) = {(x + h)}^{3} - 2 {(x + h)}^{2} + x + h + 1$

Passaggio 2.1.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Usa il teorema binomiale.

f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 {(x + h)}^{2} + x + h + 1

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 {(x + h)}^{2} + x + h + 1$

Passaggio 2.1.2.2.2

Riscrivi

{(x + h)}^{2}

${(x + h)}^{2}$ come

(x + h) (x + h)

$(x + h) (x + h)$ .

f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 ((x + h) (x + h)) + x + h + 1

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 ((x + h) (x + h)) + x + h + 1$

Passaggio 2.1.2.2.3

Espandi

(x + h) (x + h)

$(x + h) (x + h)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.3.1

Applica la proprietà distributiva.

f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 (x (x + h) + h (x + h)) + x + h + 1

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 (x (x + h) + h (x + h)) + x + h + 1$

Passaggio 2.1.2.2.3.2

Applica la proprietà distributiva.

f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + x + h + 1

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + x + h + 1$

Passaggio 2.1.2.2.3.3

Applica la proprietà distributiva.

f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + x + h + 1

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + x + h + 1$

f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + x + h + 1

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + x + h + 1$

Passaggio 2.1.2.2.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.4.1.1

Moltiplica

x

$x$ per

x

$x$ .

f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + x + h + 1

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + x + h + 1$

Passaggio 2.1.2.2.4.1.2

Moltiplica

h

$h$ per

h

$h$ .

f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + x + h + 1

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + x + h + 1$

f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + x + h + 1

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + x + h + 1$

Passaggio 2.1.2.2.4.2

Somma

x h

$x h$ e

h x

$h x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.4.2.1

Riordina

x

$x$ e

h

$h$ .

f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + x + h + 1

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + x + h + 1$

Passaggio 2.1.2.2.4.2.2

Somma

h x

$h x$ e

h x

$h x$ .

f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + x + h + 1

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + x + h + 1$

f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + x + h + 1

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + x + h + 1$

f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + x + h + 1

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + x + h + 1$

Passaggio 2.1.2.2.5

Applica la proprietà distributiva.

f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 x^{2} - 2 (2 h x) - 2 h^{2} + x + h + 1

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 x^{2} - 2 (2 h x) - 2 h^{2} + x + h + 1$

Passaggio 2.1.2.2.6

Moltiplica

2

$2$ per

- 2

$- 2$ .

f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 x^{2} - 4 h x - 2 h^{2} + x + h + 1

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 x^{2} - 4 h x - 2 h^{2} + x + h + 1$

f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 x^{2} - 4 h x - 2 h^{2} + x + h + 1

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 x^{2} - 4 h x - 2 h^{2} + x + h + 1$

Passaggio 2.1.2.3

La risposta finale è

x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 x^{2} - 4 h x - 2 h^{2} + x + h + 1

$x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 x^{2} - 4 h x - 2 h^{2} + x + h + 1$ .

x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 x^{2} - 4 h x - 2 h^{2} + x + h + 1

$x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 x^{2} - 4 h x - 2 h^{2} + x + h + 1$

x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 x^{2} - 4 h x - 2 h^{2} + x + h + 1

$x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 x^{2} - 4 h x - 2 h^{2} + x + h + 1$

x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 x^{2} - 4 h x - 2 h^{2} + x + h + 1

$x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 x^{2} - 4 h x - 2 h^{2} + x + h + 1$

Passaggio 2.2

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sposta

x^{2}

$x^{2}$ .

x^{3} + 3 h x^{2} + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 x^{2} - 4 h x - 2 h^{2} + x + h + 1

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 x^{2} - 4 h x - 2 h^{2} + x + h + 1$

Passaggio 2.2.2

Sposta

x

$x$ .

x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 2 x^{2} - 4 h x - 2 h^{2} + x + h + 1

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 2 x^{2} - 4 h x - 2 h^{2} + x + h + 1$

Passaggio 2.2.3

Sposta

x

$x$ .

x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 2 x^{2} - 4 h x - 2 h^{2} + h + x + 1

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 2 x^{2} - 4 h x - 2 h^{2} + h + x + 1$

Passaggio 2.2.4

Sposta

- 2 x^{2}

$- 2 x^{2}$ .

x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 4 h x - 2 h^{2} - 2 x^{2} + h + x + 1

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 4 h x - 2 h^{2} - 2 x^{2} + h + x + 1$

Passaggio 2.2.5

Sposta

- 4 h x

$- 4 h x$ .

x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 2 h^{2} - 4 h x - 2 x^{2} + h + x + 1

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 2 h^{2} - 4 h x - 2 x^{2} + h + x + 1$

Passaggio 2.2.6

Sposta

x^{3}

$x^{3}$ .

3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + x^{3} - 2 h^{2} - 4 h x - 2 x^{2} + h + x + 1

$3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + x^{3} - 2 h^{2} - 4 h x - 2 x^{2} + h + x + 1$

Passaggio 2.2.7

Sposta

3 h x^{2}

$3 h x^{2}$ .

3 h^{2} x + h^{3} + 3 h x^{2} + x^{3} - 2 h^{2} - 4 h x - 2 x^{2} + h + x + 1

$3 h^{2} x + h^{3} + 3 h x^{2} + x^{3} - 2 h^{2} - 4 h x - 2 x^{2} + h + x + 1$

Passaggio 2.2.8

Riordina

3 h^{2} x

$3 h^{2} x$ e

h^{3}

$h^{3}$ .

h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2 h^{2} - 4 h x - 2 x^{2} + h + x + 1

$h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2 h^{2} - 4 h x - 2 x^{2} + h + x + 1$

h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2 h^{2} - 4 h x - 2 x^{2} + h + x + 1

$h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2 h^{2} - 4 h x - 2 x^{2} + h + x + 1$

Passaggio 2.3

Trova i componenti della definizione.

f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2 h^{2} - 4 h x - 2 x^{2} + h + x + 1

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2 h^{2} - 4 h x - 2 x^{2} + h + x + 1$

f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x + 1

$f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x + 1$

f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2 h^{2} - 4 h x - 2 x^{2} + h + x + 1

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2 h^{2} - 4 h x - 2 x^{2} + h + x + 1$

$f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x + 1$

Passaggio 3

Collega i componenti.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2 h^{2} - 4 h x - 2 x^{2} + h + x + 1 - (x^{3} - 2 x^{2} + x + 1)}{h}$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2 h^{2} - 4 h x - 2 x^{2} + h + x + 1 - x^{3} - (- 2 x^{2}) - x - 1 \cdot 1}{h}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Moltiplica

$- 2$ per

$- 1$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2 h^{2} - 4 h x - 2 x^{2} + h + x + 1 - x^{3} + 2 x^{2} - x - 1 \cdot 1}{h}$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica

$- 1$ per

$1$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2 h^{2} - 4 h x - 2 x^{2} + h + x + 1 - x^{3} + 2 x^{2} - x - 1}{h}$

Passaggio 4.1.3

Sottrai

$x^{3}$ da

$x^{3}$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 2 h^{2} - 4 h x - 2 x^{2} + h + x + 1 + 0 + 2 x^{2} - x - 1}{h}$

Passaggio 4.1.4

Somma

$h^{3}$ e

$0$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 2 h^{2} - 4 h x - 2 x^{2} + h + x + 1 + 2 x^{2} - x - 1}{h}$

Passaggio 4.1.5

Somma

$- 2 x^{2}$ e

$2 x^{2}$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 2 h^{2} - 4 h x + h + x + 1 + 0 - x - 1}{h}$

Passaggio 4.1.6

Somma

$h^{3}$ e

$0$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 2 h^{2} - 4 h x + h + x + 1 - x - 1}{h}$

Passaggio 4.1.7

Sottrai

$x$ da

$x$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 2 h^{2} - 4 h x + h + 0 + 1 - 1}{h}$

Passaggio 4.1.8

Somma

$h^{3}$ e

$0$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 2 h^{2} - 4 h x + h + 1 - 1}{h}$

Passaggio 4.1.9

Sottrai

$1$ da

$1$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 2 h^{2} - 4 h x + h + 0}{h}$

Passaggio 4.1.10

Somma

$h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 2 h^{2} - 4 h x + h$ e

$0$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 2 h^{2} - 4 h x + h}{h}$

Passaggio 4.1.11

Scomponi

$h$ da

$h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 2 h^{2} - 4 h x + h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.11.1

Scomponi

$h$ da

$h^{3}$ .

$\frac{h \cdot h^{2} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 2 h^{2} - 4 h x + h}{h}$

Passaggio 4.1.11.2

Scomponi

$h$ da

$3 h^{2} x$ .

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + 3 h x^{2} - 2 h^{2} - 4 h x + h}{h}$

Passaggio 4.1.11.3

Scomponi

$h$ da

$3 h x^{2}$ .

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) - 2 h^{2} - 4 h x + h}{h}$

Passaggio 4.1.11.4

Scomponi

$h$ da

$- 2 h^{2}$ .

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + h (- 2 h) - 4 h x + h}{h}$

Passaggio 4.1.11.5

Scomponi

$h$ da

$- 4 h x$ .

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + h (- 2 h) + h (- 4 x) + h}{h}$

Passaggio 4.1.11.6

Eleva

$h$ alla potenza di

$1$ .

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + h (- 2 h) + h (- 4 x) + h^{1}}{h}$

Passaggio 4.1.11.7

Scomponi

$h$ da

$h^{1}$ .

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + h (- 2 h) + h (- 4 x) + h \cdot 1}{h}$

Passaggio 4.1.11.8

Scomponi

$h$ da

$h (h^{2}) + h (3 h x)$ .

$\frac{h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2}) + h (- 2 h) + h (- 4 x) + h \cdot 1}{h}$

Passaggio 4.1.11.9

Scomponi

$h$ da

$h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})$ .

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h (- 2 h) + h (- 4 x) + h \cdot 1}{h}$

Passaggio 4.1.11.10

Scomponi

$h$ da

$h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h (- 2 h)$ .

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 2 h) + h (- 4 x) + h \cdot 1}{h}$

Passaggio 4.1.11.11

Scomponi

$h$ da

$h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 2 h) + h (- 4 x)$ .

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 2 h - 4 x) + h \cdot 1}{h}$

Passaggio 4.1.11.12

Scomponi

$h$ da

$h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 2 h - 4 x) + h \cdot 1$ .

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 2 h - 4 x + 1)}{h}$

Passaggio 4.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune di

$h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 2 h - 4 x + 1)}{h}$

Passaggio 4.2.1.2

Dividi

$h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 2 h - 4 x + 1$ per

$1$ .

$h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 2 h - 4 x + 1$

Passaggio 4.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Sposta

$h$ .

$h^{2} + 3 x h + 3 x^{2} - 2 h - 4 x + 1$

Passaggio 4.2.2.2

Sposta

$- 2 h$ .

$h^{2} + 3 x h + 3 x^{2} - 4 x - 2 h + 1$

Passaggio 4.2.2.3

Sposta

$h^{2}$ .

$3 x h + 3 x^{2} + h^{2} - 4 x - 2 h + 1$

Passaggio 4.2.2.4

Riordina

$3 x h$ e

$3 x^{2}$ .

$3 x^{2} + 3 x h + h^{2} - 4 x - 2 h + 1$

Passaggio 5