Precalcolo Esempi

$f (x) = \tan (3 x)$

Passaggio 1

Considera la formula del rapporto incrementale.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Passaggio 2

Trova i componenti della definizione.

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Passaggio 2.1

Risolvi la funzione per $x = x + h$ .

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Passaggio 2.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $x + h$ nell'espressione.

$f (x + h) = \tan (3 (x + h))$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = \tan (3 x + 3 h)$

Passaggio 2.1.2.2

La risposta finale è $\tan (3 x + 3 h)$ .

$\tan (3 x + 3 h)$

Passaggio 2.2

Trova i componenti della definizione.

$f (x + h) = \tan (3 x + 3 h)$

$f (x) = \tan (3 x)$

$f (x + h) = \tan (3 x + 3 h)$

$f (x) = \tan (3 x)$

Passaggio 3

Collega i componenti.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\tan (3 x + 3 h) - (\tan (3 x))}{h}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Use a sum or difference formula on the numerator.

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Passaggio 4.1.1

Usa la formula di addizione per la tangente per semplificare l'espressione. La formula stabilisce che $\tan (A + B) = \frac{\tan (A) + \tan (B)}{1 - \tan (A) \tan (B)}$ .

$\frac{(\frac{\tan (3 x) + \tan (3 h)}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}) - (\tan (3 x))}{h}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

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Passaggio 4.1.2.1

Per scrivere $- \tan (3 x)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}$ .

$\frac{\frac{\tan (3 x) + \tan (3 h)}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)} - \tan (3 x) \cdot \frac{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}}{h}$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica i termini.

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Passaggio 4.1.2.2.1

$- \tan (3 x)$ e $\frac{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}$ .

$\frac{\frac{\tan (3 x) + \tan (3 h)}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)} + \frac{- \tan (3 x) (1 - \tan (3 x) \tan (3 h))}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}}{h}$

Passaggio 4.1.2.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{\tan (3 x) + \tan (3 h) - \tan (3 x) (1 - \tan (3 x) \tan (3 h))}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}}{h}$

Passaggio 4.1.2.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1.2.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\frac{\tan (3 x) + \tan (3 h) - \tan (3 x) \cdot 1 - \tan (3 x) (- \tan (3 x) \tan (3 h))}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}}{h}$

Passaggio 4.1.2.3.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{\frac{\tan (3 x) + \tan (3 h) - \tan (3 x) - \tan (3 x) (- \tan (3 x) \tan (3 h))}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}}{h}$

Passaggio 4.1.2.3.3

Moltiplica $- \tan (3 x) (- \tan (3 x) \tan (3 h))$ .

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Passaggio 4.1.2.3.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{\frac{\tan (3 x) + \tan (3 h) - \tan (3 x) + 1 \tan (3 x) (\tan (3 x) \tan (3 h))}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}}{h}$

Passaggio 4.1.2.3.3.2

Moltiplica $\tan (3 x)$ per $1$ .

$\frac{\frac{\tan (3 x) + \tan (3 h) - \tan (3 x) + \tan (3 x) (\tan (3 x) \tan (3 h))}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}}{h}$

Passaggio 4.1.2.3.3.3

Eleva $\tan (3 x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{\tan (3 x) + \tan (3 h) - \tan (3 x) + \tan (3 x) \tan (3 x) \tan (3 h)}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}}{h}$

Passaggio 4.1.2.3.3.4

Eleva $\tan (3 x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{\tan (3 x) + \tan (3 h) - \tan (3 x) + \tan (3 x) \tan (3 x) \tan (3 h)}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}}{h}$

Passaggio 4.1.2.3.3.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{\tan (3 x) + \tan (3 h) - \tan (3 x) + {\tan (3 x)}^{1 + 1} \tan (3 h)}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}}{h}$

Passaggio 4.1.2.3.3.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{\tan (3 x) + \tan (3 h) - \tan (3 x) + \tan^{2} (3 x) \tan (3 h)}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}}{h}$

Passaggio 4.1.2.3.4

Sottrai $\tan (3 x)$ da $\tan (3 x)$ .

$\frac{\frac{0 + \tan (3 h) + \tan^{2} (3 x) \tan (3 h)}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}}{h}$

Passaggio 4.1.2.3.5

Somma $0$ e $\tan (3 h)$ .

$\frac{\frac{\tan (3 h) + \tan^{2} (3 x) \tan (3 h)}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}}{h}$

Passaggio 4.1.2.3.6

Scomponi $\tan (3 h)$ da $\tan (3 h) + \tan^{2} (3 x) \tan (3 h)$ .

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Passaggio 4.1.2.3.6.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{\frac{\tan (3 h) \cdot 1 + \tan^{2} (3 x) \tan (3 h)}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}}{h}$

Passaggio 4.1.2.3.6.2

Scomponi $\tan (3 h)$ da $\tan^{2} (3 x) \tan (3 h)$ .

$\frac{\frac{\tan (3 h) \cdot 1 + \tan (3 h) \tan^{2} (3 x)}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}}{h}$

Passaggio 4.1.2.3.6.3

Scomponi $\tan (3 h)$ da $\tan (3 h) \cdot 1 + \tan (3 h) \tan^{2} (3 x)$ .

$\frac{\frac{\tan (3 h) (1 + \tan^{2} (3 x))}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}}{h}$

Passaggio 4.1.2.3.7

Rimetti in ordine i termini.

$\frac{\frac{\tan (3 h) (\tan^{2} (3 x) + 1)}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}}{h}$

Passaggio 4.1.2.3.8

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{\frac{\tan (3 h) \sec^{2} (3 x)}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}}{h}$

Passaggio 4.2

Semplifica.

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Passaggio 4.2.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{\tan (3 h) \sec^{2} (3 x)}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)} \cdot \frac{1}{h}$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $\frac{\tan (3 h) \sec^{2} (3 x)}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}$ per $\frac{1}{h}$ .

$\frac{\tan (3 h) \sec^{2} (3 x)}{(1 - \tan (3 x) \tan (3 h)) h}$

Passaggio 4.2.3

Riordina i fattori in $\frac{\tan (3 h) \sec^{2} (3 x)}{(1 - \tan (3 x) \tan (3 h)) h}$ .

$\frac{\tan (3 h) \sec^{2} (3 x)}{h (1 - \tan (3 x) \tan (3 h))}$

Passaggio 5