Precalcolo Esempi

$f (x) = 2 x^{2} + x + 5$

Passaggio 1

Considera la formula del rapporto incrementale.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Passaggio 2

Trova i componenti della definizione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Risolvi la funzione per $x = x + h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $x + h$ nell'espressione.

$f (x + h) = 2 {(x + h)}^{2} + x + h + 5$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (x + h) = 2 {(x + h)}^{2} + x + h + 5$

Passaggio 2.1.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Riscrivi ${(x + h)}^{2}$ come $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 2 ((x + h) (x + h)) + x + h + 5$

Passaggio 2.1.2.2.2

Espandi $(x + h) (x + h)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = 2 (x (x + h) + h (x + h)) + x + h + 5$

Passaggio 2.1.2.2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = 2 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + x + h + 5$

Passaggio 2.1.2.2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = 2 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + x + h + 5$

Passaggio 2.1.2.2.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + x + h + 5$

Passaggio 2.1.2.2.3.1.2

Moltiplica $h$ per $h$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + x + h + 5$

Passaggio 2.1.2.2.3.2

Somma $x h$ e $h x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.3.2.1

Riordina $x$ e $h$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + x + h + 5$

Passaggio 2.1.2.2.3.2.2

Somma $h x$ e $h x$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + x + h + 5$

Passaggio 2.1.2.2.4

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = 2 x^{2} + 2 (2 h x) + 2 h^{2} + x + h + 5$

Passaggio 2.1.2.2.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + x + h + 5$

Passaggio 2.1.2.3

La risposta finale è $2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + x + h + 5$ .

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + x + h + 5$

Passaggio 2.2

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sposta $x$ .

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + h + x + 5$

Passaggio 2.2.2

Sposta $2 x^{2}$ .

$4 h x + 2 h^{2} + 2 x^{2} + h + x + 5$

Passaggio 2.2.3

Riordina $4 h x$ e $2 h^{2}$ .

$2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x + 5$

Passaggio 2.3

Trova i componenti della definizione.

$f (x + h) = 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x + 5$

$f (x) = 2 x^{2} + x + 5$

$f (x + h) = 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x + 5$

$f (x) = 2 x^{2} + x + 5$

Passaggio 3

Collega i componenti.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x + 5 - (2 x^{2} + x + 5)}{h}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x + 5 - (2 x^{2}) - x - 1 \cdot 5}{h}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x + 5 - 2 x^{2} - x - 1 \cdot 5}{h}$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x + 5 - 2 x^{2} - x - 5}{h}$

Passaggio 4.1.3

Sottrai $2 x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + h + x + 5 + 0 - x - 5}{h}$

Passaggio 4.1.4

Somma $2 h^{2}$ e $0$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + h + x + 5 - x - 5}{h}$

Passaggio 4.1.5

Sottrai $x$ da $x$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + h + 0 + 5 - 5}{h}$

Passaggio 4.1.6

Somma $2 h^{2}$ e $0$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + h + 5 - 5}{h}$

Passaggio 4.1.7

Sottrai $5$ da $5$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + h + 0}{h}$

Passaggio 4.1.8

Somma $2 h^{2} + 4 h x + h$ e $0$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + h}{h}$

Passaggio 4.1.9

Scomponi $h$ da $2 h^{2} + 4 h x + h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.9.1

Scomponi $h$ da $2 h^{2}$ .

$\frac{h (2 h) + 4 h x + h}{h}$

Passaggio 4.1.9.2

Scomponi $h$ da $4 h x$ .

$\frac{h (2 h) + h (4 x) + h}{h}$

Passaggio 4.1.9.3

Eleva $h$ alla potenza di $1$ .

$\frac{h (2 h) + h (4 x) + h^{1}}{h}$

Passaggio 4.1.9.4

Scomponi $h$ da $h^{1}$ .

$\frac{h (2 h) + h (4 x) + h \cdot 1}{h}$

Passaggio 4.1.9.5

Scomponi $h$ da $h (2 h) + h (4 x)$ .

$\frac{h (2 h + 4 x) + h \cdot 1}{h}$

Passaggio 4.1.9.6

Scomponi $h$ da $h (2 h + 4 x) + h \cdot 1$ .

$\frac{h (2 h + 4 x + 1)}{h}$

Passaggio 4.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune di $h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{h (2 h + 4 x + 1)}{h}$

Passaggio 4.2.1.2

Dividi $2 h + 4 x + 1$ per $1$ .

$2 h + 4 x + 1$

Passaggio 4.2.2

Riordina $2 h$ e $4 x$ .

$4 x + 2 h + 1$

Passaggio 5