Precalcolo Esempi

$f (x) = x^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 1

Considera la formula del rapporto incrementale.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Passaggio 2

Trova i componenti della definizione.

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Passaggio 2.1

Risolvi la funzione per $x = x + h$ .

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Passaggio 2.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $x + h$ nell'espressione.

$f (x + h) = {(x + h)}^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 2.1.2

La risposta finale è ${(x + h)}^{\frac{3}{2}}$ .

${(x + h)}^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 2.2

Trova i componenti della definizione.

$f (x + h) = {(x + h)}^{\frac{3}{2}}$

$f (x) = x^{\frac{3}{2}}$

$f (x + h) = {(x + h)}^{\frac{3}{2}}$

$f (x) = x^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 3

Collega i componenti.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{{(x + h)}^{\frac{3}{2}} - (x^{\frac{3}{2}})}{h}$

Passaggio 4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1

Riscrivi ${(x + h)}^{\frac{3}{2}}$ come ${({(x + h)}^{\frac{1}{2}})}^{3}$ .

$\frac{{({(x + h)}^{\frac{1}{2}})}^{3} - x^{\frac{3}{2}}}{h}$

Passaggio 4.2

Riscrivi $x^{\frac{3}{2}}$ come ${(x^{\frac{1}{2}})}^{3}$ .

$\frac{{({(x + h)}^{\frac{1}{2}})}^{3} - {(x^{\frac{1}{2}})}^{3}}{h}$

Passaggio 4.3

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = {(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ e $b = x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{({(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}) ({({(x + h)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(x + h)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2})}{h}$

Passaggio 4.4

Semplifica.

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Passaggio 4.4.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + h)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 4.4.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{({(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}) ({(x + h)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(x + h)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2})}{h}$

Passaggio 4.4.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.4.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{({(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}) ({(x + h)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(x + h)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2})}{h}$

Passaggio 4.4.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{({(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}) ({(x + h)}^{1} + {(x + h)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2})}{h}$

Passaggio 4.4.2

Semplifica.

$\frac{({(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}) (x + h + {(x + h)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2})}{h}$

Passaggio 4.4.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 4.4.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{({(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}) (x + h + {(x + h)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{h}$

Passaggio 4.4.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.4.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{({(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}) (x + h + {(x + h)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{h}$

Passaggio 4.4.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{({(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}) (x + h + {(x + h)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{1})}{h}$

Passaggio 4.4.4

Semplifica.

$\frac{({(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}) (x + h + {(x + h)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x)}{h}$

Passaggio 4.4.5

Somma $x$ e $x$ .

$\frac{({(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}) (2 x + h + {(x + h)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{h}$

Passaggio 5