Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{2}}{x + 2}$ ; $[- 1, 10]$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \frac{x^{2}}{x + 2}$ come un'equazione.

$y = \frac{x^{2}}{x + 2}$

Passaggio 2

Sostituisci usando la formula del tasso medio di variazione.

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Passaggio 2.1

È possibile trovare il tasso medio di variazione di una funzione calcolando la variazione dei valori $y$ dei due punti diviso per la variazione dei valori $x$ dei due punti.

$\frac{f (10) - f (- 1)}{(10) - (- 1)}$

Passaggio 2.2

Sostituisci l'equazione $y = \frac{x^{2}}{x + 2}$ a $f (10)$ e $f (- 1)$ , sostituendo $x$ nella funzione con il valore $x$ corrispondente.

$\frac{(\frac{{(10)}^{2}}{(10) + 2}) - (\frac{{(- 1)}^{2}}{(- 1) + 2})}{(10) - (- 1)}$

Passaggio 3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.1

Moltiplica il numeratore e il denominatore della frazione per $(10 + 2) (- 1 + 2)$ .

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Passaggio 3.1.1

Moltiplica $\frac{\frac{10^{2}}{10 + 2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{- 1 + 2}}{10 - (- 1)}$ per $\frac{(10 + 2) (- 1 + 2)}{(10 + 2) (- 1 + 2)}$ .

$\frac{(10 + 2) (- 1 + 2)}{(10 + 2) (- 1 + 2)} \cdot \frac{\frac{10^{2}}{10 + 2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{- 1 + 2}}{10 - (- 1)}$

Passaggio 3.1.2

Combina.

$\frac{(10 + 2) (- 1 + 2) (\frac{10^{2}}{10 + 2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{- 1 + 2})}{(10 + 2) (- 1 + 2) (10 - (- 1))}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(10 + 2) (- 1 + 2) \frac{10^{2}}{10 + 2} + (10 + 2) (- 1 + 2) (- \frac{{(- 1)}^{2}}{- 1 + 2})}{(10 + 2) (- 1 + 2) \cdot 10 + (10 + 2) (- 1 + 2) (- (- 1))}$

Passaggio 3.3

Semplifica cancellando.

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Passaggio 3.3.1

Elimina il fattore comune di $10 + 2$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(10 + 2) (- 1 + 2) \frac{10^{2}}{10 + 2} + (10 + 2) (- 1 + 2) (- \frac{{(- 1)}^{2}}{- 1 + 2})}{(10 + 2) (- 1 + 2) \cdot 10 + (10 + 2) (- 1 + 2) (- (- 1))}$

Passaggio 3.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(- 1 + 2) \cdot 10^{2} + (10 + 2) (- 1 + 2) (- \frac{{(- 1)}^{2}}{- 1 + 2})}{(10 + 2) (- 1 + 2) \cdot 10 + (10 + 2) (- 1 + 2) (- (- 1))}$

Passaggio 3.3.2

Elimina il fattore comune di $- 1 + 2$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{{(- 1)}^{2}}{- 1 + 2}$ nel numeratore.

$\frac{(- 1 + 2) \cdot 10^{2} + (10 + 2) (- 1 + 2) \frac{- {(- 1)}^{2}}{- 1 + 2}}{(10 + 2) (- 1 + 2) \cdot 10 + (10 + 2) (- 1 + 2) (- (- 1))}$

Passaggio 3.3.2.2

Scomponi $- 1 + 2$ da $(10 + 2) (- 1 + 2)$ .

$\frac{(- 1 + 2) \cdot 10^{2} + (- 1 + 2) (10 + 2) \frac{- {(- 1)}^{2}}{- 1 + 2}}{(10 + 2) (- 1 + 2) \cdot 10 + (10 + 2) (- 1 + 2) (- (- 1))}$

Passaggio 3.3.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{(- 1 + 2) \cdot 10^{2} + (- 1 + 2) (10 + 2) \frac{- {(- 1)}^{2}}{- 1 + 2}}{(10 + 2) (- 1 + 2) \cdot 10 + (10 + 2) (- 1 + 2) (- (- 1))}$

Passaggio 3.3.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(- 1 + 2) \cdot 10^{2} + (10 + 2) (- {(- 1)}^{2})}{(10 + 2) (- 1 + 2) \cdot 10 + (10 + 2) (- 1 + 2) (- (- 1))}$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.3.3.1

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{2}$ .

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Passaggio 3.3.3.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

$\frac{(- 1 + 2) \cdot 10^{2} + (10 + 2) ({(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2})}{(10 + 2) (- 1 + 2) \cdot 10 + (10 + 2) (- 1 + 2) (- (- 1))}$

Passaggio 3.3.3.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{(- 1 + 2) \cdot 10^{2} + (10 + 2) {(- 1)}^{1 + 2}}{(10 + 2) (- 1 + 2) \cdot 10 + (10 + 2) (- 1 + 2) (- (- 1))}$

Passaggio 3.3.3.2

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{(- 1 + 2) \cdot 10^{2} + (10 + 2) {(- 1)}^{3}}{(10 + 2) (- 1 + 2) \cdot 10 + (10 + 2) (- 1 + 2) (- (- 1))}$

Passaggio 3.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.4.1

Somma $- 1$ e $2$ .

$\frac{1 \cdot 10^{2} + (10 + 2) {(- 1)}^{3}}{(10 + 2) (- 1 + 2) \cdot 10 + (10 + 2) (- 1 + 2) (- (- 1))}$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $10^{2}$ per $1$ .

$\frac{10^{2} + (10 + 2) {(- 1)}^{3}}{(10 + 2) (- 1 + 2) \cdot 10 + (10 + 2) (- 1 + 2) (- (- 1))}$

Passaggio 3.4.3

Eleva $10$ alla potenza di $2$ .

$\frac{100 + (10 + 2) {(- 1)}^{3}}{(10 + 2) (- 1 + 2) \cdot 10 + (10 + 2) (- 1 + 2) (- (- 1))}$

Passaggio 3.4.4

Somma $10$ e $2$ .

$\frac{100 + 12 {(- 1)}^{3}}{(10 + 2) (- 1 + 2) \cdot 10 + (10 + 2) (- 1 + 2) (- (- 1))}$

Passaggio 3.4.5

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$\frac{100 + 12 \cdot - 1}{(10 + 2) (- 1 + 2) \cdot 10 + (10 + 2) (- 1 + 2) (- (- 1))}$

Passaggio 3.4.6

Moltiplica $12$ per $- 1$ .

$\frac{100 - 12}{(10 + 2) (- 1 + 2) \cdot 10 + (10 + 2) (- 1 + 2) (- (- 1))}$

Passaggio 3.4.7

Sottrai $12$ da $100$ .

$\frac{88}{(10 + 2) (- 1 + 2) \cdot 10 + (10 + 2) (- 1 + 2) (- (- 1))}$

Passaggio 3.5

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.5.1

Somma $10$ e $2$ .

$\frac{88}{12 (- 1 + 2) \cdot 10 + (10 + 2) (- 1 + 2) (- (- 1))}$

Passaggio 3.5.2

Somma $- 1$ e $2$ .

$\frac{88}{12 \cdot 1 \cdot 10 + (10 + 2) (- 1 + 2) (- (- 1))}$

Passaggio 3.5.3

Moltiplica $12 \cdot 1 \cdot 10$ .

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Passaggio 3.5.3.1

Moltiplica $12$ per $1$ .

$\frac{88}{12 \cdot 10 + (10 + 2) (- 1 + 2) (- (- 1))}$

Passaggio 3.5.3.2

Moltiplica $12$ per $10$ .

$\frac{88}{120 + (10 + 2) (- 1 + 2) (- (- 1))}$

Passaggio 3.5.4

Somma $10$ e $2$ .

$\frac{88}{120 + 12 (- 1 + 2) (- (- 1))}$

Passaggio 3.5.5

Somma $- 1$ e $2$ .

$\frac{88}{120 + 12 \cdot 1 (- (- 1))}$

Passaggio 3.5.6

Moltiplica $12 \cdot 1 (- (- 1))$ .

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Passaggio 3.5.6.1

Moltiplica $12$ per $1$ .

$\frac{88}{120 + 12 (- (- 1))}$

Passaggio 3.5.6.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{88}{120 + 12 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.6.3

Moltiplica $12$ per $1$ .

$\frac{88}{120 + 12}$

Passaggio 3.5.7

Somma $120$ e $12$ .

$\frac{88}{132}$

Passaggio 3.6

Elimina il fattore comune di $88$ e $132$ .

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Passaggio 3.6.1

Scomponi $44$ da $88$ .

$\frac{44 (2)}{132}$

Passaggio 3.6.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.6.2.1

Scomponi $44$ da $132$ .

$\frac{44 \cdot 2}{44 \cdot 3}$

Passaggio 3.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{44 \cdot 2}{44 \cdot 3}$

Passaggio 3.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{3}$