Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{x}{x + 3}$ ; $[- 1, 5]$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \frac{x}{x + 3}$ come un'equazione.

$y = \frac{x}{x + 3}$

Passaggio 2

Sostituisci usando la formula del tasso medio di variazione.

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Passaggio 2.1

È possibile trovare il tasso medio di variazione di una funzione calcolando la variazione dei valori $y$ dei due punti diviso per la variazione dei valori $x$ dei due punti.

$\frac{f (5) - f (- 1)}{(5) - (- 1)}$

Passaggio 2.2

Sostituisci l'equazione $y = \frac{x}{x + 3}$ a $f (5)$ e $f (- 1)$ , sostituendo $x$ nella funzione con il valore $x$ corrispondente.

$\frac{(\frac{5}{(5) + 3}) - (\frac{- 1}{(- 1) + 3})}{(5) - (- 1)}$

Passaggio 3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.1

Moltiplica il numeratore e il denominatore della frazione per $(5 + 3) (- 1 + 3)$ .

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Passaggio 3.1.1

Moltiplica $\frac{\frac{5}{5 + 3} - \frac{- 1}{- 1 + 3}}{5 - (- 1)}$ per $\frac{(5 + 3) (- 1 + 3)}{(5 + 3) (- 1 + 3)}$ .

$\frac{(5 + 3) (- 1 + 3)}{(5 + 3) (- 1 + 3)} \cdot \frac{\frac{5}{5 + 3} - \frac{- 1}{- 1 + 3}}{5 - (- 1)}$

Passaggio 3.1.2

Combina.

$\frac{(5 + 3) (- 1 + 3) (\frac{5}{5 + 3} - \frac{- 1}{- 1 + 3})}{(5 + 3) (- 1 + 3) (5 - (- 1))}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(5 + 3) (- 1 + 3) \frac{5}{5 + 3} + (5 + 3) (- 1 + 3) (- \frac{- 1}{- 1 + 3})}{(5 + 3) (- 1 + 3) \cdot 5 + (5 + 3) (- 1 + 3) (- (- 1))}$

Passaggio 3.3

Semplifica cancellando.

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Passaggio 3.3.1

Elimina il fattore comune di $5 + 3$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(5 + 3) (- 1 + 3) \frac{5}{5 + 3} + (5 + 3) (- 1 + 3) (- \frac{- 1}{- 1 + 3})}{(5 + 3) (- 1 + 3) \cdot 5 + (5 + 3) (- 1 + 3) (- (- 1))}$

Passaggio 3.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(- 1 + 3) \cdot 5 + (5 + 3) (- 1 + 3) (- \frac{- 1}{- 1 + 3})}{(5 + 3) (- 1 + 3) \cdot 5 + (5 + 3) (- 1 + 3) (- (- 1))}$

Passaggio 3.3.2

Elimina il fattore comune di $- 1 + 3$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{- 1}{- 1 + 3}$ nel numeratore.

$\frac{(- 1 + 3) \cdot 5 + (5 + 3) (- 1 + 3) \frac{1}{- 1 + 3}}{(5 + 3) (- 1 + 3) \cdot 5 + (5 + 3) (- 1 + 3) (- (- 1))}$

Passaggio 3.3.2.2

Scomponi $- 1 + 3$ da $(5 + 3) (- 1 + 3)$ .

$\frac{(- 1 + 3) \cdot 5 + (- 1 + 3) (5 + 3) \frac{1}{- 1 + 3}}{(5 + 3) (- 1 + 3) \cdot 5 + (5 + 3) (- 1 + 3) (- (- 1))}$

Passaggio 3.3.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{(- 1 + 3) \cdot 5 + (- 1 + 3) (5 + 3) \frac{1}{- 1 + 3}}{(5 + 3) (- 1 + 3) \cdot 5 + (5 + 3) (- 1 + 3) (- (- 1))}$

Passaggio 3.3.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(- 1 + 3) \cdot 5 + 5 + 3}{(5 + 3) (- 1 + 3) \cdot 5 + (5 + 3) (- 1 + 3) (- (- 1))}$

Passaggio 3.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.4.1

Somma $- 1$ e $3$ .

$\frac{2 \cdot 5 + 5 + 3}{(5 + 3) (- 1 + 3) \cdot 5 + (5 + 3) (- 1 + 3) (- (- 1))}$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $2$ per $5$ .

$\frac{10 + 5 + 3}{(5 + 3) (- 1 + 3) \cdot 5 + (5 + 3) (- 1 + 3) (- (- 1))}$

Passaggio 3.4.3

Somma $10$ e $5$ .

$\frac{15 + 3}{(5 + 3) (- 1 + 3) \cdot 5 + (5 + 3) (- 1 + 3) (- (- 1))}$

Passaggio 3.4.4

Somma $15$ e $3$ .

$\frac{18}{(5 + 3) (- 1 + 3) \cdot 5 + (5 + 3) (- 1 + 3) (- (- 1))}$

Passaggio 3.5

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.5.1

Somma $5$ e $3$ .

$\frac{18}{8 (- 1 + 3) \cdot 5 + (5 + 3) (- 1 + 3) (- (- 1))}$

Passaggio 3.5.2

Somma $- 1$ e $3$ .

$\frac{18}{8 \cdot 2 \cdot 5 + (5 + 3) (- 1 + 3) (- (- 1))}$

Passaggio 3.5.3

Moltiplica $8 \cdot 2 \cdot 5$ .

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Passaggio 3.5.3.1

Moltiplica $8$ per $2$ .

$\frac{18}{16 \cdot 5 + (5 + 3) (- 1 + 3) (- (- 1))}$

Passaggio 3.5.3.2

Moltiplica $16$ per $5$ .

$\frac{18}{80 + (5 + 3) (- 1 + 3) (- (- 1))}$

Passaggio 3.5.4

Somma $5$ e $3$ .

$\frac{18}{80 + 8 (- 1 + 3) (- (- 1))}$

Passaggio 3.5.5

Somma $- 1$ e $3$ .

$\frac{18}{80 + 8 \cdot 2 (- (- 1))}$

Passaggio 3.5.6

Moltiplica $8 \cdot 2 (- (- 1))$ .

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Passaggio 3.5.6.1

Moltiplica $8$ per $2$ .

$\frac{18}{80 + 16 (- (- 1))}$

Passaggio 3.5.6.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{18}{80 + 16 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.6.3

Moltiplica $16$ per $1$ .

$\frac{18}{80 + 16}$

Passaggio 3.5.7

Somma $80$ e $16$ .

$\frac{18}{96}$

Passaggio 3.6

Elimina il fattore comune di $18$ e $96$ .

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Passaggio 3.6.1

Scomponi $6$ da $18$ .

$\frac{6 (3)}{96}$

Passaggio 3.6.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.6.2.1

Scomponi $6$ da $96$ .

$\frac{6 \cdot 3}{6 \cdot 16}$

Passaggio 3.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 \cdot 3}{6 \cdot 16}$

Passaggio 3.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3}{16}$