Precalcolo Esempi

$f (x) = \csc (\frac{1}{2} x - \frac{π}{4})$

Passaggio 1

$\frac{1}{2}$ e $x$ .

$y = \csc (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})$

Passaggio 2

Per qualsiasi $y = \csc (x)$ , gli asintoti verticali si verificano con $x = n π$ , dove $n$ è numero intero. usa il periodo di base per $y = c s c (x)$ , $(0, 2 π)$ , per trovare gli asintoti verticali per $y = \csc (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})$ . Imposta l'interno della funzione cosecante, $b x + c$ , per $y = a \csc (b x + c) + d$ uguale a $0$ per trovare dove gli asintoti verticali si verificano per $y = \csc (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})$ .

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = 0$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Somma $\frac{π}{4}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{x}{2} = \frac{π}{4}$

Passaggio 3.2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{4}$

Passaggio 3.3

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{4}$

Passaggio 3.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 2 \frac{π}{4}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$x = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$x = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 4

Imposta l'interno della funzione cosecante $\frac{x}{2} - \frac{π}{4}$ pari a $2 π$ .

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = 2 π$

Passaggio 5

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Somma $\frac{π}{4}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{x}{2} = 2 π + \frac{π}{4}$

Passaggio 5.1.2

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{2} = 2 π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 5.1.3

$2 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{2 π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 5.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x}{2} = \frac{2 π \cdot 4 + π}{4}$

Passaggio 5.1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.5.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{x}{2} = \frac{8 π + π}{4}$

Passaggio 5.1.5.2

Somma $8 π$ e $π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{9 π}{4}$

Passaggio 5.2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{9 π}{4}$

Passaggio 5.3

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{9 π}{4}$

Passaggio 5.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 2 \frac{9 π}{4}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$x = 2 \frac{9 π}{2 (2)}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$x = 2 \frac{9 π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5.3.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{9 π}{2}$

Passaggio 6

Il periodo di base per $y = \csc (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})$ si verificherà a $(\frac{π}{2}, \frac{9 π}{2})$ , dove $\frac{π}{2}$ e $\frac{9 π}{2}$ sono asintoti verticali.

$(\frac{π}{2}, \frac{9 π}{2})$

Passaggio 7

Trova il periodo $\frac{2 π}{| b |}$ per determinare dove sono presenti asintoti verticali. Si hanno asintoti verticali ogni mezzo periodo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

$\frac{1}{2}$ corrisponde approssimativamente a $0.5$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Passaggio 7.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$2 π \cdot 2$

Passaggio 7.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 π$

Passaggio 8

Si hanno asintoti verticali di $y = \csc (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})$ con $\frac{π}{2}$ , $\frac{9 π}{2}$ e con ogni $x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , dove $n$ è un intero. Questo è mezzo periodo.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$

Passaggio 9

La cosecante ha solo asintoti verticali.

Nessun asintoto orizzontale

Nessun asintoto obliquo

Asintoti verticali: $x = \frac{π}{2} + 2 π n$ dove $n$ è un intero

Passaggio 10