Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}$ come un'equazione.

$y = \frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \frac{y^{\frac{1}{3}} - 1}{9}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{y^{\frac{1}{3}} - 1}{9} = x$ .

$\frac{y^{\frac{1}{3}} - 1}{9} = x$

Passaggio 3.2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $9$ .

$9 \frac{y^{\frac{1}{3}} - 1}{9} = 9 x$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$9 \frac{y^{\frac{1}{3}} - 1}{9} = 9 x$

Passaggio 3.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{\frac{1}{3}} - 1 = 9 x$

Passaggio 3.4

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y^{\frac{1}{3}} - 9 x = 1$

Passaggio 3.4.2

Somma $9 x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y^{\frac{1}{3}} = 1 + 9 x$

Passaggio 3.5

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $3$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(1 + 9 x)}^{3}$

Passaggio 3.6

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.1

Semplifica ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(1 + 9 x)}^{3}$

Passaggio 3.6.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(1 + 9 x)}^{3}$

Passaggio 3.6.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{1} = {(1 + 9 x)}^{3}$

Passaggio 3.6.1.1.2

Semplifica.

$y = {(1 + 9 x)}^{3}$

Passaggio 3.6.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1

Semplifica ${(1 + 9 x)}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1.1

Usa il teorema binomiale.

$y = 1^{3} + 3 \cdot 1^{2} (9 x) + 3 \cdot 1 {(9 x)}^{2} + {(9 x)}^{3}$

Passaggio 3.6.2.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$y = 1 + 3 \cdot 1^{2} (9 x) + 3 \cdot 1 {(9 x)}^{2} + {(9 x)}^{3}$

Passaggio 3.6.2.1.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$y = 1 + 3 \cdot 1 (9 x) + 3 \cdot 1 {(9 x)}^{2} + {(9 x)}^{3}$

Passaggio 3.6.2.1.2.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$y = 1 + 3 (9 x) + 3 \cdot 1 {(9 x)}^{2} + {(9 x)}^{3}$

Passaggio 3.6.2.1.2.4

Moltiplica $9$ per $3$ .

$y = 1 + 27 x + 3 \cdot 1 {(9 x)}^{2} + {(9 x)}^{3}$

Passaggio 3.6.2.1.2.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$y = 1 + 27 x + 3 {(9 x)}^{2} + {(9 x)}^{3}$

Passaggio 3.6.2.1.2.6

Applica la regola del prodotto a $9 x$ .

$y = 1 + 27 x + 3 (9^{2} x^{2}) + {(9 x)}^{3}$

Passaggio 3.6.2.1.2.7

Eleva $9$ alla potenza di $2$ .

$y = 1 + 27 x + 3 (81 x^{2}) + {(9 x)}^{3}$

Passaggio 3.6.2.1.2.8

Moltiplica $81$ per $3$ .

$y = 1 + 27 x + 243 x^{2} + {(9 x)}^{3}$

Passaggio 3.6.2.1.2.9

Applica la regola del prodotto a $9 x$ .

$y = 1 + 27 x + 243 x^{2} + 9^{3} x^{3}$

Passaggio 3.6.2.1.2.10

Eleva $9$ alla potenza di $3$ .

$y = 1 + 27 x + 243 x^{2} + 729 x^{3}$

Passaggio 3.7

Semplifica $1 + 27 x + 243 x^{2} + 729 x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Sposta $1$ .

$y = 27 x + 243 x^{2} + 729 x^{3} + 1$

Passaggio 3.7.2

Sposta $27 x$ .

$y = 243 x^{2} + 729 x^{3} + 27 x + 1$

Passaggio 3.7.3

Riordina $243 x^{2}$ e $729 x^{3}$ .

$y = 729 x^{3} + 243 x^{2} + 27 x + 1$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = 729 x^{3} + 243 x^{2} + 27 x + 1$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = 729 x^{3} + 243 x^{2} + 27 x + 1$ è l'inverso di $f (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = 729 {(\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9})}^{3} + 243 {(\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9})}^{2} + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Passaggio 5.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = 729 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{9^{3}}) + 243 {(\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9})}^{2} + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Passaggio 5.2.3.2

Eleva $9$ alla potenza di $3$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = 729 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{729}) + 243 {(\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9})}^{2} + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Passaggio 5.2.3.3

Elimina il fattore comune di $729$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = 729 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{729}) + 243 {(\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9})}^{2} + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Passaggio 5.2.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = {(x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3} + 243 {(\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9})}^{2} + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Passaggio 5.2.3.4

Usa il teorema binomiale.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 1 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 243 {(\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9})}^{2} + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Passaggio 5.2.3.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.5.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.5.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 1 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 243 {(\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9})}^{2} + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Passaggio 5.2.3.5.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.5.1.2.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 5.2.3.5.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 1 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 243 {(\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9})}^{2} + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Passaggio 5.2.3.5.2

Semplifica.

Passaggio 5.2.3.5.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.5.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x + 3 x^{\frac{1}{3} \cdot 2} \cdot - 1 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 243 {(\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9})}^{2} + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Passaggio 5.2.3.5.3.2

$\frac{1}{3}$ e $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} \cdot - 1 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 243 {(\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9})}^{2} + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Passaggio 5.2.3.5.4

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 243 {(\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9})}^{2} + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Passaggio 5.2.3.5.5

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + {(- 1)}^{3} + 243 {(\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9})}^{2} + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Passaggio 5.2.3.5.6

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + {(- 1)}^{3} + 243 {(\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9})}^{2} + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Passaggio 5.2.3.5.7

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 243 {(\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9})}^{2} + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Passaggio 5.2.3.6

Applica la regola del prodotto a $\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 243 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}}{9^{2}}) + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Passaggio 5.2.3.7

Eleva $9$ alla potenza di $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 243 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}}{81}) + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Passaggio 5.2.3.8

Elimina il fattore comune di $81$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.8.1

Scomponi $81$ da $243$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 81 (3) (\frac{{(x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}}{81}) + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Passaggio 5.2.3.8.2

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 81 \cdot (3 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}}{81})) + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Passaggio 5.2.3.8.3

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 {(x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2} + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Passaggio 5.2.3.9

Riscrivi ${(x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}$ come $(x^{\frac{1}{3}} - 1) (x^{\frac{1}{3}} - 1)$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 ((x^{\frac{1}{3}} - 1) (x^{\frac{1}{3}} - 1)) + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Passaggio 5.2.3.10

Espandi $(x^{\frac{1}{3}} - 1) (x^{\frac{1}{3}} - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 (x^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{1}{3}} - 1) - 1 (x^{\frac{1}{3}} - 1)) + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Passaggio 5.2.3.10.2

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 - 1 (x^{\frac{1}{3}} - 1)) + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Passaggio 5.2.3.10.3

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 - 1 x^{\frac{1}{3}} - 1 \cdot - 1) + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Passaggio 5.2.3.11

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.11.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.11.1.1

Moltiplica $x^{\frac{1}{3}}$ per $x^{\frac{1}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.11.1.1.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 (x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 - 1 x^{\frac{1}{3}} - 1 \cdot - 1) + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Passaggio 5.2.3.11.1.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 (x^{\frac{1 + 1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 - 1 x^{\frac{1}{3}} - 1 \cdot - 1) + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Passaggio 5.2.3.11.1.1.3

Somma $1$ e $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 (x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 - 1 x^{\frac{1}{3}} - 1 \cdot - 1) + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Passaggio 5.2.3.11.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 (x^{\frac{2}{3}} - 1 \cdot x^{\frac{1}{3}} - 1 x^{\frac{1}{3}} - 1 \cdot - 1) + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Passaggio 5.2.3.11.1.3

Riscrivi $- 1 x^{\frac{1}{3}}$ come $- x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 (x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{1}{3}} - 1 x^{\frac{1}{3}} - 1 \cdot - 1) + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Passaggio 5.2.3.11.1.4

Riscrivi $- 1 x^{\frac{1}{3}}$ come $- x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 (x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{3}} - 1 \cdot - 1) + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Passaggio 5.2.3.11.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 (x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{3}} + 1) + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Passaggio 5.2.3.11.2

Sottrai $x^{\frac{1}{3}}$ da $- x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 (x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + 1) + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Passaggio 5.2.3.12

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 (- 2 x^{\frac{1}{3}}) + 3 \cdot 1 + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Passaggio 5.2.3.13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.13.1

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 \cdot 1 + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Passaggio 5.2.3.13.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Passaggio 5.2.3.14

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.14.1

Scomponi $9$ da $27$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 + 9 (3) (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Passaggio 5.2.3.14.2

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 + 9 \cdot (3 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9})) + 1$

Passaggio 5.2.3.14.3

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 + 3 (x^{\frac{1}{3}} - 1) + 1$

Passaggio 5.2.3.15

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 + 3 x^{\frac{1}{3}} + 3 \cdot - 1 + 1$

Passaggio 5.2.3.16

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 + 3 x^{\frac{1}{3}} - 3 + 1$

Passaggio 5.2.4

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Combina i termini opposti in $x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 + 3 x^{\frac{1}{3}} - 3 + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1.1

Somma $- 3 x^{\frac{2}{3}}$ e $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 0 - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 + 3 x^{\frac{1}{3}} - 3 + 1$

Passaggio 5.2.4.1.2

Somma $x + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 + 3 x^{\frac{1}{3}} - 3 + 1$

Passaggio 5.2.4.1.3

Sottrai $3$ da $3$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 0 + 1$

Passaggio 5.2.4.1.4

Somma $x + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}}$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1$

Passaggio 5.2.4.1.5

Somma $- 1$ e $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x + 3 x^{\frac{1}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 0$

Passaggio 5.2.4.1.6

Somma $x + 3 x^{\frac{1}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}}$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x + 3 x^{\frac{1}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 5.2.4.2

Sottrai $6 x^{\frac{1}{3}}$ da $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 5.2.4.3

Combina i termini opposti in $x - 3 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.3.1

Somma $- 3 x^{\frac{1}{3}}$ e $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x + 0$

Passaggio 5.2.4.3.2

Somma $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

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Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (729 x^{3} + 243 x^{2} + 27 x + 1)$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (729 x^{3} + 243 x^{2} + 27 x + 1) = \frac{{(729 x^{3} + 243 x^{2} + 27 x + 1)}^{\frac{1}{3}} - 1}{9}$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = 729 x^{3} + 243 x^{2} + 27 x + 1$ è l'inverso di $f (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}$ .

$f^{- 1} (x) = 729 x^{3} + 243 x^{2} + 27 x + 1$