Precalcolo Esempi

$f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}$ come un'equazione.

$y = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = {(\frac{\sqrt[3]{y}}{10})}^{5}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica ${(\frac{\sqrt[3]{y}}{10})}^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt[3]{y}}{10}$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{y}}^{5}}{10^{5}}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Riscrivi ${\sqrt[3]{y}}^{5}$ come $\sqrt[3]{y^{5}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{y^{5}}}{10^{5}}$

Passaggio 3.1.2.2

Metti in evidenza $y^{3}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{y^{3} y^{2}}}{10^{5}}$

Passaggio 3.1.2.3

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{y \sqrt[3]{y^{2}}}{10^{5}}$

Passaggio 3.1.3

Eleva $10$ alla potenza di $5$ .

$x = \frac{y \sqrt[3]{y^{2}}}{100000}$

Passaggio 3.2

Riscrivi l'equazione come $\frac{y \sqrt[3]{y^{2}}}{100000} = x$ .

$\frac{y \sqrt[3]{y^{2}}}{100000} = x$

Passaggio 3.3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{y^{2}}$ come $y^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{y \cdot y^{\frac{2}{3}}}{100000} = x$

Passaggio 3.4

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $100000$ .

$100000 \frac{y \cdot y^{\frac{2}{3}}}{100000} = 100000 x$

Passaggio 3.5

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Semplifica $100000 \frac{y \cdot y^{\frac{2}{3}}}{100000}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.1

Elimina il fattore comune di $100000$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$100000 \frac{y \cdot y^{\frac{2}{3}}}{100000} = 100000 x$

Passaggio 3.5.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y \cdot y^{\frac{2}{3}} = 100000 x$

Passaggio 3.5.1.2

Moltiplica $y$ per $y^{\frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.2.1

Moltiplica $y$ per $y^{\frac{2}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.2.1.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$y^{1} y^{\frac{2}{3}} = 100000 x$

Passaggio 3.5.1.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y^{1 + \frac{2}{3}} = 100000 x$

Passaggio 3.5.1.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$y^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}} = 100000 x$

Passaggio 3.5.1.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y^{\frac{3 + 2}{3}} = 100000 x$

Passaggio 3.5.1.2.4

Somma $3$ e $2$ .

$y^{\frac{5}{3}} = 100000 x$

Passaggio 3.6

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $\frac{3}{5}$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(y^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}} = {(100000 x)}^{\frac{3}{5}}$

Passaggio 3.7

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.1

Semplifica ${(y^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}} = {(100000 x)}^{\frac{3}{5}}$

Passaggio 3.7.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}} = {(100000 x)}^{\frac{3}{5}}$

Passaggio 3.7.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(100000 x)}^{\frac{3}{5}}$

Passaggio 3.7.1.1.1.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(100000 x)}^{\frac{3}{5}}$

Passaggio 3.7.1.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{1} = {(100000 x)}^{\frac{3}{5}}$

Passaggio 3.7.1.1.2

Semplifica.

$y = {(100000 x)}^{\frac{3}{5}}$

Passaggio 3.7.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.1

Semplifica ${(100000 x)}^{\frac{3}{5}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.1.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $100000 x$ .

$y = 100000^{\frac{3}{5}} x^{\frac{3}{5}}$

Passaggio 3.7.2.1.1.2

Riscrivi $100000$ come $10^{5}$ .

$y = {(10^{5})}^{\frac{3}{5}} x^{\frac{3}{5}}$

Passaggio 3.7.2.1.1.3

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 10^{5 (\frac{3}{5})} x^{\frac{3}{5}}$

Passaggio 3.7.2.1.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y = 10^{5 (\frac{3}{5})} x^{\frac{3}{5}}$

Passaggio 3.7.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y = 10^{3} x^{\frac{3}{5}}$

Passaggio 3.7.2.1.3

Eleva $10$ alla potenza di $3$ .

$y = 1000 x^{\frac{3}{5}}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = 1000 x^{\frac{3}{5}}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = 1000 x^{\frac{3}{5}}$ è l'inverso di $f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 {({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5})}^{\frac{3}{5}}$

Passaggio 5.2.3

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5})}^{\frac{3}{5}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5 (\frac{3}{5})}$

Passaggio 5.2.3.1.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5 (\frac{3}{5})}$

Passaggio 5.2.3.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{3}$

Passaggio 5.2.3.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt[3]{x}}{10}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{{\sqrt[3]{x}}^{3}}{10^{3}})$

Passaggio 5.2.4

Riscrivi ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ come $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x}$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}{10^{3}})$

Passaggio 5.2.4.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{10^{3}})$

Passaggio 5.2.4.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{x^{\frac{3}{3}}}{10^{3}})$

Passaggio 5.2.4.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{x^{\frac{3}{3}}}{10^{3}})$

Passaggio 5.2.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{x}{10^{3}})$

Passaggio 5.2.4.5

Semplifica.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{x}{10^{3}})$

Passaggio 5.2.5

Eleva $10$ alla potenza di $3$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{x}{1000})$

Passaggio 5.2.6

Elimina il fattore comune di $1000$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{x}{1000})$

Passaggio 5.2.6.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (1000 x^{\frac{3}{5}})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (1000 x^{\frac{3}{5}}) = {(\frac{\sqrt[3]{1000 x^{\frac{3}{5}}}}{10})}^{5}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Riscrivi $1000 x^{\frac{3}{5}}$ come ${(10 x^{\frac{1}{5}})}^{3}$ .

$f (1000 x^{\frac{3}{5}}) = {(\frac{\sqrt[3]{{(10 x^{\frac{1}{5}})}^{3}}}{10})}^{5}$

Passaggio 5.3.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$f (1000 x^{\frac{3}{5}}) = {(\frac{10 x^{\frac{1}{5}}}{10})}^{5}$

Passaggio 5.3.4

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (1000 x^{\frac{3}{5}}) = {(\frac{10 x^{\frac{1}{5}}}{10})}^{5}$

Passaggio 5.3.4.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.2.1

Dividi $x^{\frac{1}{5}}$ per $1$ .

$f (1000 x^{\frac{3}{5}}) = {(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$

Passaggio 5.3.4.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (1000 x^{\frac{3}{5}}) = x^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

Passaggio 5.3.4.2.2.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (1000 x^{\frac{3}{5}}) = x^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

Passaggio 5.3.4.2.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (1000 x^{\frac{3}{5}}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = 1000 x^{\frac{3}{5}}$ è l'inverso di $f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}$ .

$f^{- 1} (x) = 1000 x^{\frac{3}{5}}$