Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{5} - 6}{9}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \frac{x^{5} - 6}{9}$ come un'equazione.

$y = \frac{x^{5} - 6}{9}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \frac{y^{5} - 6}{9}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{y^{5} - 6}{9} = x$ .

$\frac{y^{5} - 6}{9} = x$

Passaggio 3.2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $9$ .

$9 \frac{y^{5} - 6}{9} = 9 x$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$9 \frac{y^{5} - 6}{9} = 9 x$

Passaggio 3.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{5} - 6 = 9 x$

Passaggio 3.4

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y^{5} = 9 x + 6$

Passaggio 3.5

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \sqrt[5]{9 x + 6}$

Passaggio 3.6

Scomponi $3$ da $9 x + 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Scomponi $3$ da $9 x$ .

$y = \sqrt[5]{3 (3 x) + 6}$

Passaggio 3.6.2

Scomponi $3$ da $6$ .

$y = \sqrt[5]{3 (3 x) + 3 (2)}$

Passaggio 3.6.3

Scomponi $3$ da $3 (3 x) + 3 (2)$ .

$y = \sqrt[5]{3 (3 x + 2)}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{3 (3 x + 2)}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{3 (3 x + 2)}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{x^{5} - 6}{9}$ .

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Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (3 (\frac{x^{5} - 6}{9}) + 2)}$

Passaggio 5.2.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (3 (\frac{x^{5} - 6}{3 (3)}) + 2)}$

Passaggio 5.2.3.2

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (3 (\frac{x^{5} - 6}{3 \cdot 3}) + 2)}$

Passaggio 5.2.3.3

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} - 6}{3} + 2)}$

Passaggio 5.2.4

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} - 6}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3})}$

Passaggio 5.2.5

$2$ e $\frac{3}{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} - 6}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3})}$

Passaggio 5.2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} - 6 + 2 \cdot 3}{3})}$

Passaggio 5.2.7

Riordina i termini.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} + 2 \cdot 3 - 6}{3})}$

Passaggio 5.2.8

Riscrivi $\frac{x^{5} + 2 \cdot 3 - 6}{3}$ in una forma fattorizzata.

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Passaggio 5.2.8.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} + 6 - 6}{3})}$

Passaggio 5.2.8.2

Sottrai $6$ da $6$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} + 0}{3})}$

Passaggio 5.2.8.3

Somma $x^{5}$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5}}{3})}$

Passaggio 5.2.9

$3$ e $\frac{x^{5}}{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{\frac{3 x^{5}}{3}}$

Passaggio 5.2.10

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 5.2.10.1

Riduci l'espressione $\frac{3 x^{5}}{3}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.10.1.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{\frac{3 x^{5}}{3}}$

Passaggio 5.2.10.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{\frac{x^{5}}{1}}$

Passaggio 5.2.10.2

Dividi $x^{5}$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{x^{5}}$

Passaggio 5.2.11

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

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Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{{(\sqrt[5]{3 (3 x + 2)})}^{5} - 6}{9}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}$ come ${(3 (3 x + 2))}^{\frac{1}{5}}$ .

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{{({(3 (3 x + 2))}^{\frac{1}{5}})}^{5} - 6}{9}$

Passaggio 5.3.3.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(3 (3 x + 2))}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Passaggio 5.3.3.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{{(3 (3 x + 2))}^{\frac{1}{5} \cdot 5} - 6}{9}$

Passaggio 5.3.3.2.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{{(3 (3 x + 2))}^{\frac{1}{5} \cdot 5} - 6}{9}$

Passaggio 5.3.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{(3 (3 x + 2)) - 6}{9}$

Passaggio 5.3.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{(3 (3 x) + 3 \cdot 2) - 6}{9}$

Passaggio 5.3.3.4

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{(9 x + 3 \cdot 2) - 6}{9}$

Passaggio 5.3.3.5

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{(9 x + 6) - 6}{9}$

Passaggio 5.3.3.6

Semplifica.

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{9 x + 6 - 6}{9}$

Passaggio 5.3.3.7

Sottrai $6$ da $6$ .

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{9 x + 0}{9}$

Passaggio 5.3.3.8

Somma $9 x$ e $0$ .

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{9 x}{9}$

Passaggio 5.3.4

Elimina il fattore comune di $9$ .

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Passaggio 5.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{9 x}{9}$

Passaggio 5.3.4.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{3 (3 x + 2)}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{x^{5} - 6}{9}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{3 (3 x + 2)}$