Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{7}}{8} + 8$ ; find $f^{- 1} (x)$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \frac{x^{7}}{8} + 8$ come un'equazione.

$y = \frac{x^{7}}{8} + 8$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \frac{y^{7}}{8} + 8$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{y^{7}}{8} + 8 = x$ .

$\frac{y^{7}}{8} + 8 = x$

Passaggio 3.2

Sottrai $8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{y^{7}}{8} = x - 8$

Passaggio 3.3

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $8$ .

$8 \frac{y^{7}}{8} = 8 (x - 8)$

Passaggio 3.4

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$8 \frac{y^{7}}{8} = 8 (x - 8)$

Passaggio 3.4.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{7} = 8 (x - 8)$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Semplifica $8 (x - 8)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y^{7} = 8 x + 8 \cdot - 8$

Passaggio 3.4.2.1.2

Moltiplica $8$ per $- 8$ .

$y^{7} = 8 x - 64$

Passaggio 3.5

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \sqrt[7]{8 x - 64}$

Passaggio 3.6

Scomponi $8$ da $8 x - 64$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Scomponi $8$ da $8 x$ .

$y = \sqrt[7]{8 (x) - 64}$

Passaggio 3.6.2

Scomponi $8$ da $- 64$ .

$y = \sqrt[7]{8 x + 8 \cdot - 8}$

Passaggio 3.6.3

Scomponi $8$ da $8 x + 8 \cdot - 8$ .

$y = \sqrt[7]{8 (x - 8)}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{8 (x - 8)}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{8 (x - 8)}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{x^{7}}{8} + 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\frac{x^{7}}{8} + 8)$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{7}}{8} + 8) = \sqrt[7]{8 ((\frac{x^{7}}{8} + 8) - 8)}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Sottrai $8$ da $8$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{7}}{8} + 8) = \sqrt[7]{8 (\frac{x^{7}}{8} + 0)}$

Passaggio 5.2.3.2

Somma $\frac{x^{7}}{8}$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{7}}{8} + 8) = \sqrt[7]{8 (\frac{x^{7}}{8})}$

Passaggio 5.2.4

$8$ e $\frac{x^{7}}{8}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{7}}{8} + 8) = \sqrt[7]{\frac{8 x^{7}}{8}}$

Passaggio 5.2.5

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Riduci l'espressione $\frac{8 x^{7}}{8}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{x^{7}}{8} + 8) = \sqrt[7]{\frac{8 x^{7}}{8}}$

Passaggio 5.2.5.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{x^{7}}{8} + 8) = \sqrt[7]{\frac{x^{7}}{1}}$

Passaggio 5.2.5.2

Dividi $x^{7}$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{7}}{8} + 8) = \sqrt[7]{x^{7}}$

Passaggio 5.2.6

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$f^{- 1} (\frac{x^{7}}{8} + 8) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\sqrt[7]{8 (x - 8)})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = \frac{{(\sqrt[7]{8 (x - 8)})}^{7}}{8} + 8$

Passaggio 5.3.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.3.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Riscrivi ${\sqrt[7]{8 (x - 8)}}^{7}$ come $8 (x - 8)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[7]{8 (x - 8)}$ come ${(8 (x - 8))}^{\frac{1}{7}}$ .

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = \frac{{({(8 (x - 8))}^{\frac{1}{7}})}^{7}}{8} + 8$

Passaggio 5.3.3.1.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = \frac{{(8 (x - 8))}^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{8} + 8$

Passaggio 5.3.3.1.1.3

$\frac{1}{7}$ e $7$ .

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = \frac{{(8 (x - 8))}^{\frac{7}{7}}}{8} + 8$

Passaggio 5.3.3.1.1.4

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = \frac{{(8 (x - 8))}^{\frac{7}{7}}}{8} + 8$

Passaggio 5.3.3.1.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = \frac{8 (x - 8)}{8} + 8$

Passaggio 5.3.3.1.1.5

Semplifica.

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = \frac{8 (x - 8)}{8} + 8$

Passaggio 5.3.3.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = \frac{8 x + 8 \cdot - 8}{8} + 8$

Passaggio 5.3.3.1.3

Moltiplica $8$ per $- 8$ .

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = \frac{8 x - 64}{8} + 8$

Passaggio 5.3.3.1.4

Scomponi $8$ da $8 x - 64$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.4.1

Scomponi $8$ da $8 x$ .

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = \frac{8 (x) - 64}{8} + 8$

Passaggio 5.3.3.1.4.2

Scomponi $8$ da $- 64$ .

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = \frac{8 x + 8 \cdot - 8}{8} + 8$

Passaggio 5.3.3.1.4.3

Scomponi $8$ da $8 x + 8 \cdot - 8$ .

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = \frac{8 (x - 8)}{8} + 8$

Passaggio 5.3.3.2

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = \frac{8 (x - 8)}{8} + 8$

Passaggio 5.3.3.2.2

Dividi $x - 8$ per $1$ .

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = x - 8 + 8$

Passaggio 5.3.4

Combina i termini opposti in $x - 8 + 8$ .

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Passaggio 5.3.4.1

Somma $- 8$ e $8$ .

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = x + 0$

Passaggio 5.3.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{8 (x - 8)}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{x^{7}}{8} + 8$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{8 (x - 8)}$