Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ è indefinita.

$x = \ln (2), x = \ln (3)$

Passaggio 2

Poiché $\frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $\ln (2)$ da sinistra e $\frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $\ln (2)$ da destra, allora $x = \ln (2)$ è un asintoto verticale.

$x = \ln (2)$

Passaggio 3

Poiché $\frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $\ln (3)$ da sinistra e $\frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $\ln (3)$ da destra, allora $x = \ln (3)$ è un asintoto verticale.

$x = \ln (3)$

Passaggio 4

Elenca tutti gli asintoti verticali:

$x = \ln (2), \ln (3)$

Passaggio 5

Calcola $lim_{x \to - \infty} \frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ per trovare l'asintoto orizzontale.

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Passaggio 5.1

Calcola il limite.

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Passaggio 5.1.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 3 e^{2 x} + 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

Passaggio 5.1.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 3 e^{2 x} + lim_{x \to - \infty} 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

Passaggio 5.1.3

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to - \infty} e^{2 x} + lim_{x \to - \infty} 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

Passaggio 5.2

Poiché l'esponente $2 x$ tende a $- \infty$ , la quantità $e^{2 x}$ tende a $0$ .

$\frac{3 \cdot 0 + lim_{x \to - \infty} 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

Passaggio 5.3

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

Passaggio 5.3.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - lim_{x \to - \infty} 5 e^{x} + lim_{x \to - \infty} 6}$

Passaggio 5.4

Poiché l'esponente $2 x$ tende a $- \infty$ , la quantità $e^{2 x}$ tende a $0$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{0 - lim_{x \to - \infty} 5 e^{x} + lim_{x \to - \infty} 6}$

Passaggio 5.5

Sposta il termine $5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{0 - 5 lim_{x \to - \infty} e^{x} + lim_{x \to - \infty} 6}$

Passaggio 5.6

Poiché l'esponente $x$ tende a $- \infty$ , la quantità $e^{x}$ tende a $0$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{0 - 5 \cdot 0 + lim_{x \to - \infty} 6}$

Passaggio 5.7

Calcola il limite.

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Passaggio 5.7.1

Calcola il limite di $6$ che è costante, mentre $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{0 - 5 \cdot 0 + 6}$

Passaggio 5.7.2

Semplifica la risposta.

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Passaggio 5.7.2.1

Elimina il fattore comune di $3 \cdot 0 + 2$ e $0 - 5 \cdot 0 + 6$ .

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Passaggio 5.7.2.1.1

Riscrivi $0$ come $- 1 (0)$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0) - 5 \cdot 0 + 6}$

Passaggio 5.7.2.1.2

Scomponi $- 1$ da $- 5 \cdot 0$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0) - (5 \cdot 0) + 6}$

Passaggio 5.7.2.1.3

Scomponi $- 1$ da $- 1 (0) - (5 \cdot 0)$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0 + 5 \cdot 0) + 6}$

Passaggio 5.7.2.1.4

Riscrivi $6$ come $- 1 (- 6)$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0 + 5 \cdot 0) - 1 \cdot - 6}$

Passaggio 5.7.2.1.5

Scomponi $- 1$ da $- 1 (0 + 5 \cdot 0) - 1 \cdot - 6$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0 + 5 \cdot 0 - 6)}$

Passaggio 5.7.2.1.6

Riordina i termini.

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 6)}$

Passaggio 5.7.2.1.7

Scomponi $2$ da $3 \cdot 0$ .

$\frac{2 (3 \cdot 0) + 2}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 6)}$

Passaggio 5.7.2.1.8

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (3 \cdot 0) + 2 (1)}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 6)}$

Passaggio 5.7.2.1.9

Scomponi $2$ da $2 (3 \cdot 0) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (3 \cdot 0 + 1)}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 6)}$

Passaggio 5.7.2.1.10

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.7.2.1.10.1

Scomponi $2$ da $- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 6)$ .

$\frac{2 (3 \cdot 0 + 1)}{2 (- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 3))}$

Passaggio 5.7.2.1.10.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (3 \cdot 0 + 1)}{2 (- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 3))}$

Passaggio 5.7.2.1.10.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 \cdot 0 + 1}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 3)}$

Passaggio 5.7.2.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.7.2.2.1

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{0 + 1}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 3)}$

Passaggio 5.7.2.2.2

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{1}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 3)}$

Passaggio 5.7.2.3

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.7.2.3.1

Moltiplica $0$ per $5$ .

$\frac{1}{- 1 (0 + 0 - 3)}$

Passaggio 5.7.2.3.2

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{1}{- 1 (0 - 3)}$

Passaggio 5.7.2.3.3

Sottrai $3$ da $0$ .

$\frac{1}{- 1 \cdot - 3}$

Passaggio 5.7.2.4

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$\frac{1}{3}$

Passaggio 6

Elenca gli asintoti orizzontali:

$y = \frac{1}{3}$

Passaggio 7

Non c'è nessun asintoto obliquo perché il grado del numeratore è minore di o uguale al grado del denominatore.

Nessun asintoto obliquo

Passaggio 8

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = \ln (2), \ln (3)$

Asintoti orizzontali: $y = \frac{1}{3}$

Nessun asintoto obliquo

Passaggio 9