Precalcolo Esempi

$\frac{6 x^{2} + 12 x - 177}{x^{2} + x - 30}$

Passaggio 1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

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Passaggio 1.1

Scomponi la frazione.

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Passaggio 1.1.1

Scomponi $3$ da $6 x^{2} + 12 x - 177$ .

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Passaggio 1.1.1.1

Scomponi $3$ da $6 x^{2}$ .

$\frac{3 (2 x^{2}) + 12 x - 177}{x^{2} + x - 30}$

Passaggio 1.1.1.2

Scomponi $3$ da $12 x$ .

$\frac{3 (2 x^{2}) + 3 (4 x) - 177}{x^{2} + x - 30}$

Passaggio 1.1.1.3

Scomponi $3$ da $- 177$ .

$\frac{3 (2 x^{2}) + 3 (4 x) + 3 (- 59)}{x^{2} + x - 30}$

Passaggio 1.1.1.4

Scomponi $3$ da $3 (2 x^{2}) + 3 (4 x)$ .

$\frac{3 (2 x^{2} + 4 x) + 3 (- 59)}{x^{2} + x - 30}$

Passaggio 1.1.1.5

Scomponi $3$ da $3 (2 x^{2} + 4 x) + 3 (- 59)$ .

$\frac{3 (2 x^{2} + 4 x - 59)}{x^{2} + x - 30}$

Passaggio 1.1.2

Scomponi $x^{2} + x - 30$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 30$ e la cui somma è $1$ .

$- 5, 6$

Passaggio 1.1.2.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$\frac{3 (2 x^{2} + 4 x - 59)}{(x - 5) (x + 6)}$

Passaggio 1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{x - 5}$

Passaggio 1.3

$\frac{A}{x - 5} + \frac{B}{x + 6}$

Passaggio 1.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $(x - 5) (x + 6)$ .

$\frac{3 (2 x^{2} + 4 x - 59) (x - 5) (x + 6)}{(x - 5) (x + 6)} = \frac{(A) (x - 5) (x + 6)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

Passaggio 1.5

Elimina il fattore comune di $x - 5$ .

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Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (2 x^{2} + 4 x - 59) (x - 5) (x + 6)}{(x - 5) (x + 6)} = \frac{(A) (x - 5) (x + 6)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

Passaggio 1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 (2 x^{2} + 4 x - 59) (x + 6)}{x + 6} = \frac{(A) (x - 5) (x + 6)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

Passaggio 1.6

Elimina il fattore comune di $x + 6$ .

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Passaggio 1.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (2 x^{2} + 4 x - 59) (x + 6)}{x + 6} = \frac{(A) (x - 5) (x + 6)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

Passaggio 1.6.2

Dividi $3 (2 x^{2} + 4 x - 59)$ per $1$ .

$3 (2 x^{2} + 4 x - 59) = \frac{(A) (x - 5) (x + 6)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

Passaggio 1.7

Applica la proprietà distributiva.

$3 (2 x^{2}) + 3 (4 x) + 3 \cdot - 59 = \frac{(A) (x - 5) (x + 6)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

Passaggio 1.8

Semplifica.

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Passaggio 1.8.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 x^{2} + 3 (4 x) + 3 \cdot - 59 = \frac{(A) (x - 5) (x + 6)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

Passaggio 1.8.2

Moltiplica $4$ per $3$ .

$6 x^{2} + 12 x + 3 \cdot - 59 = \frac{(A) (x - 5) (x + 6)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

Passaggio 1.8.3

Moltiplica $3$ per $- 59$ .

$6 x^{2} + 12 x - 177 = \frac{(A) (x - 5) (x + 6)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

Passaggio 1.9

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.9.1

Elimina il fattore comune di $x - 5$ .

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Passaggio 1.9.1.1

Elimina il fattore comune.

$6 x^{2} + 12 x - 177 = \frac{A (x - 5) (x + 6)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

Passaggio 1.9.1.2

Dividi $(A) (x + 6)$ per $1$ .

$6 x^{2} + 12 x - 177 = (A) (x + 6) + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

Passaggio 1.9.2

Applica la proprietà distributiva.

$6 x^{2} + 12 x - 177 = A x + A \cdot 6 + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

Passaggio 1.9.3

Sposta $6$ alla sinistra di $A$ .

$6 x^{2} + 12 x - 177 = A x + 6 \cdot A + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

Passaggio 1.9.4

Elimina il fattore comune di $x + 6$ .

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Passaggio 1.9.4.1

Elimina il fattore comune.

$6 x^{2} + 12 x - 177 = A x + 6 A + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

Passaggio 1.9.4.2

Dividi $(B) (x - 5)$ per $1$ .

$6 x^{2} + 12 x - 177 = A x + 6 A + (B) (x - 5)$

Passaggio 1.9.5

Applica la proprietà distributiva.

$6 x^{2} + 12 x - 177 = A x + 6 A + B x + B \cdot - 5$

Passaggio 1.9.6

Sposta $- 5$ alla sinistra di $B$ .

$6 x^{2} + 12 x - 177 = A x + 6 A + B x - 5 B$

Passaggio 1.10

Sposta $6 A$ .

$6 x^{2} + 12 x - 177 = A x + B x + 6 A - 5 B$

Passaggio 2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

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Passaggio 2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$12 = A + B$

Passaggio 2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$- 177 = 6 A - 5 B$

Passaggio 2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$12 = A + B$

$- 177 = 6 A - 5 B$

$12 = A + B$

$- 177 = 6 A - 5 B$

Passaggio 3

Risolvi il sistema di equazioni.

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Passaggio 3.1

Risolvi per $A$ in $12 = A + B$ .

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Passaggio 3.1.1

Riscrivi l'equazione come $A + B = 12$ .

$A + B = 12$

$- 177 = 6 A - 5 B$

Passaggio 3.1.2

Sottrai $B$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = 12 - B$

$- 177 = 6 A - 5 B$

$A = 12 - B$

$- 177 = 6 A - 5 B$

Passaggio 3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $12 - B$ in ogni equazione.

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Passaggio 3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $- 177 = 6 A - 5 B$ con $12 - B$ .

$- 177 = 6 (12 - B) - 5 B$

$A = 12 - B$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $6 (12 - B) - 5 B$ .

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Passaggio 3.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 177 = 6 \cdot 12 + 6 (- B) - 5 B$

$A = 12 - B$

Passaggio 3.2.2.1.1.2

Moltiplica $6$ per $12$ .

$- 177 = 72 + 6 (- B) - 5 B$

$A = 12 - B$

Passaggio 3.2.2.1.1.3

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$- 177 = 72 - 6 B - 5 B$

$A = 12 - B$

$- 177 = 72 - 6 B - 5 B$

$A = 12 - B$

Passaggio 3.2.2.1.2

Sottrai $5 B$ da $- 6 B$ .

$- 177 = 72 - 11 B$

$A = 12 - B$

$- 177 = 72 - 11 B$

$A = 12 - B$

$- 177 = 72 - 11 B$

$A = 12 - B$

$- 177 = 72 - 11 B$

$A = 12 - B$

Passaggio 3.3

Risolvi per $B$ in $- 177 = 72 - 11 B$ .

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Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $72 - 11 B = - 177$ .

$72 - 11 B = - 177$

$A = 12 - B$

Passaggio 3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.3.2.1

Sottrai $72$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 11 B = - 177 - 72$

$A = 12 - B$

Passaggio 3.3.2.2

Sottrai $72$ da $- 177$ .

$- 11 B = - 249$

$A = 12 - B$

$- 11 B = - 249$

$A = 12 - B$

Passaggio 3.3.3

Dividi per $- 11$ ciascun termine in $- 11 B = - 249$ e semplifica.

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Passaggio 3.3.3.1

Dividi per $- 11$ ciascun termine in $- 11 B = - 249$ .

$\frac{- 11 B}{- 11} = \frac{- 249}{- 11}$

$A = 12 - B$

Passaggio 3.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 11$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 11 B}{- 11} = \frac{- 249}{- 11}$

$A = 12 - B$

Passaggio 3.3.3.2.1.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{- 249}{- 11}$

$A = 12 - B$

$B = \frac{- 249}{- 11}$

$A = 12 - B$

$B = \frac{- 249}{- 11}$

$A = 12 - B$

Passaggio 3.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$B = \frac{249}{11}$

$A = 12 - B$

$B = \frac{249}{11}$

$A = 12 - B$

$B = \frac{249}{11}$

$A = 12 - B$

$B = \frac{249}{11}$

$A = 12 - B$

Passaggio 3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $\frac{249}{11}$ in ogni equazione.

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Passaggio 3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $A = 12 - B$ con $\frac{249}{11}$ .

$A = 12 - (\frac{249}{11})$

$B = \frac{249}{11}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.4.2.1

Semplifica $12 - (\frac{249}{11})$ .

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Passaggio 3.4.2.1.1

Per scrivere $12$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{11}{11}$ .

$A = 12 \cdot \frac{11}{11} - \frac{249}{11}$

$B = \frac{249}{11}$

Passaggio 3.4.2.1.2

$12$ e $\frac{11}{11}$ .

$A = \frac{12 \cdot 11}{11} - \frac{249}{11}$

$B = \frac{249}{11}$

Passaggio 3.4.2.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A = \frac{12 \cdot 11 - 249}{11}$

$B = \frac{249}{11}$

Passaggio 3.4.2.1.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.4.2.1.4.1

Moltiplica $12$ per $11$ .

$A = \frac{132 - 249}{11}$

$B = \frac{249}{11}$

Passaggio 3.4.2.1.4.2

Sottrai $249$ da $132$ .

$A = \frac{- 117}{11}$

$B = \frac{249}{11}$

$A = \frac{- 117}{11}$

$B = \frac{249}{11}$

Passaggio 3.4.2.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$A = - \frac{117}{11}$

$B = \frac{249}{11}$

$A = - \frac{117}{11}$

$B = \frac{249}{11}$

$A = - \frac{117}{11}$

$B = \frac{249}{11}$

$A = - \frac{117}{11}$

$B = \frac{249}{11}$

Passaggio 3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$A = - \frac{117}{11}, B = \frac{249}{11}$

Passaggio 4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x - 5} + \frac{B}{x + 6}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{- \frac{117}{11}}{x - 5} + \frac{\frac{249}{11}}{x + 6}$