Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} - 10 x}{2 x^{2} + 2 x}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{2 x^{3} + 8 x^{2} - 10 x}{2 x^{2} + 2 x}$ è indefinita.

$x = - 1, x = 0$

Passaggio 2

Poiché $\frac{2 x^{3} + 8 x^{2} - 10 x}{2 x^{2} + 2 x}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $- 1$ da sinistra e $\frac{2 x^{3} + 8 x^{2} - 10 x}{2 x^{2} + 2 x}$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $- 1$ da destra, allora $x = - 1$ è un asintoto verticale.

$x = - 1$

Passaggio 3

Considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la retta $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 4

Trova $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Passaggio 5

Poiché $n > m$ , non c'è nessun l'asintoto orizzontale.

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 6

Trova l'asintoto obliquo usando la divisione di polinomi.

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Passaggio 6.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 6.1.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1.1.1

Scomponi $2 x$ da $2 x^{3} + 8 x^{2} - 10 x$ .

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Passaggio 6.1.1.1.1

Scomponi $2 x$ da $2 x^{3}$ .

$\frac{2 x (x^{2}) + 8 x^{2} - 10 x}{2 x^{2} + 2 x}$

Passaggio 6.1.1.1.2

Scomponi $2 x$ da $8 x^{2}$ .

$\frac{2 x (x^{2}) + 2 x (4 x) - 10 x}{2 x^{2} + 2 x}$

Passaggio 6.1.1.1.3

Scomponi $2 x$ da $- 10 x$ .

$\frac{2 x (x^{2}) + 2 x (4 x) + 2 x (- 5)}{2 x^{2} + 2 x}$

Passaggio 6.1.1.1.4

Scomponi $2 x$ da $2 x (x^{2}) + 2 x (4 x)$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 4 x) + 2 x (- 5)}{2 x^{2} + 2 x}$

Passaggio 6.1.1.1.5

Scomponi $2 x$ da $2 x (x^{2} + 4 x) + 2 x (- 5)$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 4 x - 5)}{2 x^{2} + 2 x}$

Passaggio 6.1.1.2

Scomponi $x^{2} + 4 x - 5$ usando il metodo AC.

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Passaggio 6.1.1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 5$ e la cui somma è $4$ .

$- 1, 5$

Passaggio 6.1.1.2.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$\frac{2 x ((x - 1) (x + 5))}{2 x^{2} + 2 x}$

$\frac{2 x (x - 1) (x + 5)}{2 x^{2} + 2 x}$

Passaggio 6.1.2

Semplifica i termini.

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Passaggio 6.1.2.1

Scomponi $2 x$ da $2 x^{2} + 2 x$ .

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Passaggio 6.1.2.1.1

Scomponi $2 x$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{2 x (x - 1) (x + 5)}{2 x (x) + 2 x}$

Passaggio 6.1.2.1.2

Scomponi $2 x$ da $2 x$ .

$\frac{2 x (x - 1) (x + 5)}{2 x (x) + 2 x (1)}$

Passaggio 6.1.2.1.3

Scomponi $2 x$ da $2 x (x) + 2 x (1)$ .

$\frac{2 x (x - 1) (x + 5)}{2 x (x + 1)}$

Passaggio 6.1.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x (x - 1) (x + 5)}{2 x (x + 1)}$

Passaggio 6.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(x (x - 1)) (x + 5)}{x (x + 1)}$

Passaggio 6.1.2.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 6.1.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (x - 1) (x + 5)}{x (x + 1)}$

Passaggio 6.1.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(x - 1) (x + 5)}{x + 1}$

Passaggio 6.2

Espandi $(x - 1) (x + 5)$ .

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Passaggio 6.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (x + 5) - 1 (x + 5)}{x + 1}$

Passaggio 6.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 5 - 1 (x + 5)}{x + 1}$

Passaggio 6.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 5 - 1 x - 1 \cdot 5}{x + 1}$

Passaggio 6.2.4

Riordina $x$ e $5$ .

$\frac{x \cdot x + 5 x - 1 x - 1 \cdot 5}{x + 1}$

Passaggio 6.2.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x \cdot x + 5 x - 1 x - 1 \cdot 5}{x + 1}$

Passaggio 6.2.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x \cdot x + 5 x - 1 x - 1 \cdot 5}{x + 1}$

Passaggio 6.2.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{1 + 1} + 5 x - 1 x - 1 \cdot 5}{x + 1}$

Passaggio 6.2.8

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{x^{2} + 5 x - 1 x - 1 \cdot 5}{x + 1}$

Passaggio 6.2.9

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{x^{2} + 5 x - 1 x - 5}{x + 1}$

Passaggio 6.2.10

Sottrai $1 x$ da $5 x$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 5}{x + 1}$

Passaggio 6.3

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

Passaggio 6.4

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x$
	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$

Passaggio 6.5

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$
			+	$x^{2}$	+	$x$

Passaggio 6.6

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{2} + x$

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$x$

Passaggio 6.7

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$3 x$

Passaggio 6.8

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$3 x$	-	$5$

Passaggio 6.9

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $3 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x$	+	$3$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$3 x$	-	$5$

Passaggio 6.10

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x$	+	$3$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$3 x$	-	$5$
					+	$3 x$	+	$3$

Passaggio 6.11

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $3 x + 3$

				$x$	+	$3$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$3 x$	-	$5$
					-	$3 x$	-	$3$

Passaggio 6.12

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x$	+	$3$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$3 x$	-	$5$
					-	$3 x$	-	$3$
							-	$8$

Passaggio 6.13

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$x + 3 - \frac{8}{x + 1}$

Passaggio 6.14

Dividi la soluzione in porzione polinomiale e resto.

$x + 3 + \frac{- 16 x}{2 x^{2} + 2 x}$

Passaggio 6.15

L'asintoto obliquo è la porzione polinomiale del risultato della divisione in colonna.

$y = x + 3$

Passaggio 7

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = - 1$

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti obliqui: $y = x + 3$

Passaggio 8