Precalcolo Esempi

$f (x) = \sqrt{9 - \sqrt{- x}}$

Passaggio 1

Imposta il radicando in $\sqrt{- x}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$- x \geq 0$

Passaggio 2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \geq 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \geq 0$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Passaggio 2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \leq \frac{0}{- 1}$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi $0$ per $- 1$ .

$x \leq 0$

Passaggio 3

Imposta il radicando in $\sqrt{9 - \sqrt{- x}}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$9 - \sqrt{- x} \geq 0$

Passaggio 4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sottrai $9$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$- \sqrt{- x} \geq - 9$

Passaggio 4.2

Per rimuovere il radicale del lato sinistro della diseguaglianza, eleva al quadrato entrambi i lati della diseguaglianza.

${(- \sqrt{- x})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Passaggio 4.3

Semplifica ogni lato della diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{- x}$ come ${(- x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(- x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica ${(- {(- x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- x$ .

${(- ({(- 1)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}))}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.2.1

Sposta ${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.2.2

Moltiplica ${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ per $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.2.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

${({(- 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot {(- 1)}^{1} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${({(- 1)}^{\frac{1}{2} + 1} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.2.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

${({(- 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

${({(- 1)}^{\frac{1 + 2}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.2.5

Somma $1$ e $2$ .

${({(- 1)}^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.3

Riscrivi ${(- 1)}^{\frac{3}{2}}$ come $\sqrt{{(- 1)}^{3}}$ .

${(\sqrt{{(- 1)}^{3}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.4

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

${(\sqrt{- 1} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

${(i x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.6

Applica la regola del prodotto a $i x^{\frac{1}{2}}$ .

$i^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.7

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$- {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.8

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.8.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 9)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.8.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.8.2.1

Elimina il fattore comune.

$- x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 9)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.8.2.2

Riscrivi l'espressione.

$- x^{1} \geq {(- 9)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.9

Semplifica.

$- x \geq {(- 9)}^{2}$

Passaggio 4.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Eleva $- 9$ alla potenza di $2$ .

$- x \geq 81$

Passaggio 4.4

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \geq 81$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \geq 81$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{81}{- 1}$

Passaggio 4.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} \leq \frac{81}{- 1}$

Passaggio 4.4.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \leq \frac{81}{- 1}$

Passaggio 4.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.3.1

Dividi $81$ per $- 1$ .

$x \leq - 81$

Passaggio 4.5

Trova il dominio di $9 - \sqrt{- x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Imposta il radicando in $\sqrt{- x}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$- x \geq 0$

Passaggio 4.5.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \geq 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \geq 0$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Passaggio 4.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Passaggio 4.5.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \leq \frac{0}{- 1}$

Passaggio 4.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.3.1

Dividi $0$ per $- 1$ .

$x \leq 0$

Passaggio 4.5.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, 0]$

Passaggio 4.6

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 81$

$- 81 < x < 0$

$x > 0$

Passaggio 4.7

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 81$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 81$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 84$

Passaggio 4.7.1.2

Sostituisci $x$ con $- 84$ nella diseguaglianza originale.

$9 - \sqrt{- (- 84)} \geq 0$

Passaggio 4.7.1.3

Il lato sinistro di $- 0.16515138$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 4.7.2

Testa un valore sull'intervallo $- 81 < x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 81 < x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 2$

Passaggio 4.7.2.2

Sostituisci $x$ con $- 2$ nella diseguaglianza originale.

$9 - \sqrt{- (- 2)} \geq 0$

Passaggio 4.7.2.3

Il lato sinistro di $7.58578643$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 4.7.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2$

Passaggio 4.7.3.2

Sostituisci $x$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

$9 - \sqrt{- (2)} \geq 0$

Passaggio 4.7.3.3

Il lato sinistro non è uguale al lato destro, il che significa che l'affermazione è falsa.

Falso

Passaggio 4.7.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 81$ Falso

$- 81 < x < 0$ Vero

$x > 0$ Falso

$x < - 81$ Falso

$- 81 < x < 0$ Vero

$x > 0$ Falso

Passaggio 4.8

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- 81 \leq x \leq 0$

Passaggio 5

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$[- 81, 0]$

Notazione intensiva:

${x | - 81 \leq x \leq 0}$

Passaggio 6