Precalcolo Esempi

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{{(y - 7)}^{2}}{15} = 1$

Passaggio 1

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{{(y - 7)}^{2}}{15} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'ellisse. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare il centro e gli assi minore e maggiore dell'ellissi.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa ellissi a quelli della forma standard. La variabile $a$ rappresenta il raggio dell'asse maggiore dell'ellissi, $b$ rappresenta il raggio dell'asse minore dell'ellissi, $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine e $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine.

$a = \sqrt{15}$

$b = 2 \sqrt{3}$

$k = 7$

$h = 0$

Passaggio 4

Il centro di un'ellissi segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci i valori di $h$ e $k$ .

$(0, 7)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'ellissi usando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(\sqrt{15})}^{2} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Riscrivi ${\sqrt{15}}^{2}$ come $15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{15}$ come $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{15^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{15^{\frac{2}{2}} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{15^{\frac{2}{2}} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{15^{1} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt{15 - {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Applica la regola del prodotto a $2 \sqrt{3}$ .

$\sqrt{15 - (2^{2} {\sqrt{3}}^{2})}$

Passaggio 5.3.2.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{15 - (4 {\sqrt{3}}^{2})}$

Passaggio 5.3.3

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{15 - (4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Passaggio 5.3.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{15 - (4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Passaggio 5.3.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{15 - (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}$

Passaggio 5.3.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{15 - (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}$

Passaggio 5.3.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{15 - (4 \cdot 3^{1})}$

Passaggio 5.3.3.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt{15 - (4 \cdot 3)}$

Passaggio 5.3.4

Moltiplica $- (4 \cdot 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\sqrt{15 - 1 \cdot 12}$

Passaggio 5.3.4.2

Moltiplica $- 1$ per $12$ .

$\sqrt{15 - 12}$

Passaggio 5.3.5

Sottrai $12$ da $15$ .

$\sqrt{3}$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'ellissi sommando $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(0, 7 + \sqrt{15})$

Passaggio 6.3

Si può trovare il secondo vertice di un'ellissi sottraendo $a$ da $k$ .

$(h, k - a)$

Passaggio 6.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(0, 7 - (\sqrt{15}))$

Passaggio 6.5

Semplifica.

$(0, 7 - \sqrt{15})$

Passaggio 6.6

Le ellissi hanno due vertici.

${Vertex}_{1}$ : $(0, 7 + \sqrt{15})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, 7 - \sqrt{15})$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 7 + \sqrt{15})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, 7 - \sqrt{15})$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'ellissi sommando $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(0, 7 + \sqrt{3})$

Passaggio 7.3

Si può trovare il primo fuoco di un'ellissi sottraendo $c$ da $k$ .

$(h, k - c)$

Passaggio 7.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(0, 7 - (\sqrt{3}))$

Passaggio 7.5

Semplifica.

$(0, 7 - \sqrt{3})$

Passaggio 7.6

Le ellissi hanno due fuochi.

${Focus}_{1}$ : $(0, 7 + \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(0, 7 - \sqrt{3})$

${Focus}_{1}$ : $(0, 7 + \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(0, 7 - \sqrt{3})$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{15})}^{2} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Riscrivi ${\sqrt{15}}^{2}$ come $15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{15}$ come $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Passaggio 8.3.1.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{15^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Passaggio 8.3.1.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{15^{\frac{2}{2}} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Passaggio 8.3.1.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{15^{\frac{2}{2}} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Passaggio 8.3.1.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{15^{1} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Passaggio 8.3.1.1.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{15 - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Passaggio 8.3.1.2

Applica la regola del prodotto a $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{15 - (2^{2} {\sqrt{3}}^{2})}}{\sqrt{15}}$

Passaggio 8.3.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{15 - (4 {\sqrt{3}}^{2})}}{\sqrt{15}}$

Passaggio 8.3.1.4

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{15 - (4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})}}{\sqrt{15}}$

Passaggio 8.3.1.4.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{15 - (4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})}}{\sqrt{15}}$

Passaggio 8.3.1.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{15 - (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}}{\sqrt{15}}$

Passaggio 8.3.1.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{15 - (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}}{\sqrt{15}}$

Passaggio 8.3.1.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{15 - (4 \cdot 3^{1})}}{\sqrt{15}}$

Passaggio 8.3.1.4.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{15 - (4 \cdot 3)}}{\sqrt{15}}$

Passaggio 8.3.1.5

Moltiplica $- (4 \cdot 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.5.1

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\frac{\sqrt{15 - 1 \cdot 12}}{\sqrt{15}}$

Passaggio 8.3.1.5.2

Moltiplica $- 1$ per $12$ .

$\frac{\sqrt{15 - 12}}{\sqrt{15}}$

Passaggio 8.3.1.6

Sottrai $12$ da $15$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{15}}$

Passaggio 8.3.2

Combina $\sqrt{3}$ e $\sqrt{15}$ in un singolo radicale.

$\sqrt{\frac{3}{15}}$

Passaggio 8.3.3

Elimina il fattore comune di $3$ e $15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\sqrt{\frac{3 (1)}{15}}$

Passaggio 8.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.2.1

Scomponi $3$ da $15$ .

$\sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 5}}$

Passaggio 8.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 5}}$

Passaggio 8.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{\frac{1}{5}}$

Passaggio 8.3.4

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{5}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.5

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.6

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{5}}$ per $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.7

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.7.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{5}}$ per $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.7.2

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.7.3

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Passaggio 8.3.7.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Passaggio 8.3.7.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Passaggio 8.3.7.6

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.7.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 8.3.7.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 8.3.7.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 8.3.7.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.7.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 8.3.7.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{5}}{5^{1}}$

Passaggio 8.3.7.6.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{5}}{5}$

Passaggio 9

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'ellissi.

Centro: $(0, 7)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 7 + \sqrt{15})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, 7 - \sqrt{15})$

${Focus}_{1}$ : $(0, 7 + \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(0, 7 - \sqrt{3})$

Eccentricità: $\frac{\sqrt{5}}{5}$

Passaggio 10