Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{5 x^{2} + 14 x - 3}}$

Passaggio 1

Imposta il radicando in $\sqrt{5 x^{2} + 14 x - 3}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$5 x^{2} + 14 x - 3 \geq 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$5 x^{2} + 14 x - 3 = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 5 \cdot - 3 = - 15$ e la cui somma è $b = 14$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $14$ da $14 x$ .

$5 x^{2} + 14 (x) - 3 = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi $14$ come $- 1$ più $15$ .

$5 x^{2} + (- 1 + 15) x - 3 = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$5 x^{2} - 1 x + 15 x - 3 = 0$

Passaggio 2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(5 x^{2} - 1 x) + 15 x - 3 = 0$

Passaggio 2.2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x (5 x - 1) + 3 (5 x - 1) = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $5 x - 1$ .

$(5 x - 1) (x + 3) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$5 x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $5 x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $5 x - 1$ uguale a $0$ .

$5 x - 1 = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $5 x - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$5 x = 1$

Passaggio 2.4.2.2

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 x = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 x = 1$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

Passaggio 2.4.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{5}$

Passaggio 2.5

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 2.5.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(5 x - 1) (x + 3) = 0$ vera.

$x = \frac{1}{5}, - 3$

Passaggio 2.7

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 3$

$- 3 < x < \frac{1}{5}$

$x > \frac{1}{5}$

Passaggio 2.8

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 6$

Passaggio 2.8.1.2

Sostituisci $x$ con $- 6$ nella diseguaglianza originale.

$5 {(- 6)}^{2} + 14 (- 6) - 3 \geq 0$

Passaggio 2.8.1.3

Il lato sinistro di $93$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 2.8.2

Testa un valore sull'intervallo $- 3 < x < \frac{1}{5}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 3 < x < \frac{1}{5}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 2.8.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$5 {(0)}^{2} + 14 (0) - 3 \geq 0$

Passaggio 2.8.2.3

Il lato sinistro di $- 3$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 2.8.3

Testa un valore sull'intervallo $x > \frac{1}{5}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > \frac{1}{5}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 3$

Passaggio 2.8.3.2

Sostituisci $x$ con $3$ nella diseguaglianza originale.

$5 {(3)}^{2} + 14 (3) - 3 \geq 0$

Passaggio 2.8.3.3

Il lato sinistro di $84$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 2.8.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 3$ Vero

$- 3 < x < \frac{1}{5}$ Falso

$x > \frac{1}{5}$ Vero

$x < - 3$ Vero

$- 3 < x < \frac{1}{5}$ Falso

$x > \frac{1}{5}$ Vero

Passaggio 2.9

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x \leq - 3$ o $x \geq \frac{1}{5}$

Passaggio 3

Imposta il denominatore in $\frac{1}{\sqrt{5 x^{2} + 14 x - 3}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\sqrt{5 x^{2} + 14 x - 3} = 0$

Passaggio 4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{5 x^{2} + 14 x - 3}}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 4.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5 x^{2} + 14 x - 3}$ come ${(5 x^{2} + 14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(5 x^{2} + 14 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ${({(5 x^{2} + 14 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(5 x^{2} + 14 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(5 x^{2} + 14 x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 4.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(5 x^{2} + 14 x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 4.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(5 x^{2} + 14 x - 3)}^{1} = 0^{2}$

Passaggio 4.2.2.1.2

Semplifica.

$5 x^{2} + 14 x - 3 = 0^{2}$

Passaggio 4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$5 x^{2} + 14 x - 3 = 0$

Passaggio 4.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 5 \cdot - 3 = - 15$ e la cui somma è $b = 14$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1.1

Scomponi $14$ da $14 x$ .

$5 x^{2} + 14 (x) - 3 = 0$

Passaggio 4.3.1.1.2

Riscrivi $14$ come $- 1$ più $15$ .

$5 x^{2} + (- 1 + 15) x - 3 = 0$

Passaggio 4.3.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$5 x^{2} - 1 x + 15 x - 3 = 0$

Passaggio 4.3.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(5 x^{2} - 1 x) + 15 x - 3 = 0$

Passaggio 4.3.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x (5 x - 1) + 3 (5 x - 1) = 0$

Passaggio 4.3.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $5 x - 1$ .

$(5 x - 1) (x + 3) = 0$

Passaggio 4.3.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$5 x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Passaggio 4.3.3

Imposta $5 x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Imposta $5 x - 1$ uguale a $0$ .

$5 x - 1 = 0$

Passaggio 4.3.3.2

Risolvi $5 x - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$5 x = 1$

Passaggio 4.3.3.2.2

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 x = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.2.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 x = 1$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

Passaggio 4.3.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

Passaggio 4.3.3.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{5}$

Passaggio 4.3.4

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 4.3.4.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 4.3.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(5 x - 1) (x + 3) = 0$ vera.

$x = \frac{1}{5}, - 3$

Passaggio 4.4

Escludi le soluzioni che non rendono $\sqrt{5 x^{2} + 14 x - 3} = 0$ vera.

$x = - 3$

Passaggio 5

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 3) \cup [\frac{1}{5}, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x < - 3, x \geq \frac{1}{5}}$

Passaggio 6