Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}$ come un'equazione.

$y = \frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \frac{{(y + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{{(y + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3} = x$ .

$\frac{{(y + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3} = x$

Passaggio 3.2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $3$ .

$3 \frac{{(y + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3} = 3 x$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{{(y + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3} = 3 x$

Passaggio 3.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

${(y + 7)}^{\frac{1}{3}} = 3 x$

Passaggio 3.4

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $3$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${({(y + 7)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(3 x)}^{3}$

Passaggio 3.5

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.1

Semplifica ${({(y + 7)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(y + 7)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 7)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(3 x)}^{3}$

Passaggio 3.5.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(y + 7)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(3 x)}^{3}$

Passaggio 3.5.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(y + 7)}^{1} = {(3 x)}^{3}$

Passaggio 3.5.1.1.2

Semplifica.

$y + 7 = {(3 x)}^{3}$

Passaggio 3.5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Semplifica ${(3 x)}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $3 x$ .

$y + 7 = 3^{3} x^{3}$

Passaggio 3.5.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$y + 7 = 27 x^{3}$

Passaggio 3.6

Sottrai $7$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = 27 x^{3} - 7$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = 27 x^{3} - 7$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = 27 x^{3} - 7$ è l'inverso di $f (x) = \frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}) = 27 {(\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3})}^{3} - 7$

Passaggio 5.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}) = 27 (\frac{{({(x + 7)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{3^{3}}) - 7$

Passaggio 5.2.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 7)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}) = 27 (\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{3^{3}}) - 7$

Passaggio 5.2.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}) = 27 (\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{3^{3}}) - 7$

Passaggio 5.2.3.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}) = 27 (\frac{x + 7}{3^{3}}) - 7$

Passaggio 5.2.3.2.2

Semplifica.

$f^{- 1} (\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}) = 27 (\frac{x + 7}{3^{3}}) - 7$

Passaggio 5.2.3.3

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}) = 27 (\frac{x + 7}{27}) - 7$

Passaggio 5.2.3.4

Elimina il fattore comune di $27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}) = 27 (\frac{x + 7}{27}) - 7$

Passaggio 5.2.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}) = x + 7 - 7$

Passaggio 5.2.4

Combina i termini opposti in $x + 7 - 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Sottrai $7$ da $7$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}) = x + 0$

Passaggio 5.2.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (27 x^{3} - 7)$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (27 x^{3} - 7) = \frac{{((27 x^{3} - 7) + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Combina i termini opposti in $27 x^{3} - 7 + 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Somma $- 7$ e $7$ .

$f (27 x^{3} - 7) = \frac{{(27 x^{3} + 0)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Somma $27 x^{3}$ e $0$ .

$f (27 x^{3} - 7) = \frac{{(27 x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 5.3.3.2

Applica la regola del prodotto a $27 x^{3}$ .

$f (27 x^{3} - 7) = \frac{27^{\frac{1}{3}} {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 5.3.3.3

Riscrivi $27$ come $3^{3}$ .

$f (27 x^{3} - 7) = \frac{{(3^{3})}^{\frac{1}{3}} {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 5.3.3.4

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (27 x^{3} - 7) = \frac{3^{3 (\frac{1}{3})} {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 5.3.3.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.5.1

Elimina il fattore comune.

$f (27 x^{3} - 7) = \frac{3^{3 (\frac{1}{3})} {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 5.3.3.5.2

Riscrivi l'espressione.

$f (27 x^{3} - 7) = \frac{3 {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 5.3.3.6

Calcola l'esponente.

$f (27 x^{3} - 7) = \frac{3 {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 5.3.3.7

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.7.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (27 x^{3} - 7) = \frac{3 x^{3 (\frac{1}{3})}}{3}$

Passaggio 5.3.3.7.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.7.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (27 x^{3} - 7) = \frac{3 x^{3 (\frac{1}{3})}}{3}$

Passaggio 5.3.3.7.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (27 x^{3} - 7) = \frac{3 x}{3}$

Passaggio 5.3.3.8

Semplifica.

$f (27 x^{3} - 7) = \frac{3 x}{3}$

Passaggio 5.3.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (27 x^{3} - 7) = \frac{3 x}{3}$

Passaggio 5.3.4.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f (27 x^{3} - 7) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = 27 x^{3} - 7$ è l'inverso di $f (x) = \frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$f^{- 1} (x) = 27 x^{3} - 7$