Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{2 x}{4 - 3 x}$ $f^{- 1} (x)$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \frac{2 x}{4 - 3 x}$ come un'equazione.

$y = \frac{2 x}{4 - 3 x}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \frac{2 y}{4 - 3 y}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{2 y}{4 - 3 y} = x$ .

$\frac{2 y}{4 - 3 y} = x$

Passaggio 3.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$4 - 3 y, 1$

Passaggio 3.2.2

Rimuovi le parentesi.

$4 - 3 y, 1$

Passaggio 3.2.3

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$4 - 3 y$

Passaggio 3.3

Moltiplica per $4 - 3 y$ ciascun termine in $\frac{2 y}{4 - 3 y} = x$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{2 y}{4 - 3 y} = x$ per $4 - 3 y$ .

$\frac{2 y}{4 - 3 y} (4 - 3 y) = x (4 - 3 y)$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $4 - 3 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y}{4 - 3 y} (4 - 3 y) = x (4 - 3 y)$

Passaggio 3.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$2 y = x (4 - 3 y)$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 y = x \cdot 4 + x (- 3 y)$

Passaggio 3.3.3.2

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$2 y = 4 \cdot x + x (- 3 y)$

Passaggio 3.3.3.2.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 y = 4 x - 3 x y$

Passaggio 3.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Somma $3 x y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 y + 3 x y = 4 x$

Passaggio 3.4.2

Scomponi $y$ da $2 y + 3 x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Scomponi $y$ da $2 y$ .

$y \cdot 2 + 3 x y = 4 x$

Passaggio 3.4.2.2

Scomponi $y$ da $3 x y$ .

$y \cdot 2 + y (3 x) = 4 x$

Passaggio 3.4.2.3

Scomponi $y$ da $y \cdot 2 + y (3 x)$ .

$y (2 + 3 x) = 4 x$

Passaggio 3.4.3

Dividi per $2 + 3 x$ ciascun termine in $y (2 + 3 x) = 4 x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Dividi per $2 + 3 x$ ciascun termine in $y (2 + 3 x) = 4 x$ .

$\frac{y (2 + 3 x)}{2 + 3 x} = \frac{4 x}{2 + 3 x}$

Passaggio 3.4.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2 + 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (2 + 3 x)}{2 + 3 x} = \frac{4 x}{2 + 3 x}$

Passaggio 3.4.3.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{4 x}{2 + 3 x}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{4 x}{2 + 3 x}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{4 x}{2 + 3 x}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{2 x}{4 - 3 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{4 (\frac{2 x}{4 - 3 x})}{2 + 3 (\frac{2 x}{4 - 3 x})}$

Passaggio 5.2.3

$4$ e $\frac{2 x}{4 - 3 x}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{2 + 3 (\frac{2 x}{4 - 3 x})}$

Passaggio 5.2.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Moltiplica $3 \frac{2 x}{4 - 3 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1.1

$3$ e $\frac{2 x}{4 - 3 x}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{2 + \frac{3 (2 x)}{4 - 3 x}}$

Passaggio 5.2.4.1.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{2 + \frac{6 x}{4 - 3 x}}$

Passaggio 5.2.4.2

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4 - 3 x}{4 - 3 x}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{\frac{2 (4 - 3 x)}{4 - 3 x} + \frac{6 x}{4 - 3 x}}$

Passaggio 5.2.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{\frac{2 (4 - 3 x) + 6 x}{4 - 3 x}}$

Passaggio 5.2.4.4

Riscrivi $\frac{2 (4 - 3 x) + 6 x}{4 - 3 x}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.4.1

Scomponi $2$ da $2 (4 - 3 x) + 6 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.4.1.1

Scomponi $2$ da $6 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{\frac{2 (4 - 3 x) + 2 (3 x)}{4 - 3 x}}$

Passaggio 5.2.4.4.1.2

Scomponi $2$ da $2 (4 - 3 x) + 2 (3 x)$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{\frac{2 (4 - 3 x + 3 x)}{4 - 3 x}}$

Passaggio 5.2.4.4.2

Somma $- 3 x$ e $3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{\frac{2 (4 + 0)}{4 - 3 x}}$

Passaggio 5.2.4.4.3

Somma $4$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{\frac{2 \cdot 4}{4 - 3 x}}$

Passaggio 5.2.4.5

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{\frac{8}{4 - 3 x}}$

Passaggio 5.2.5

Moltiplica $4$ per $2$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{8 x}{4 - 3 x}}{\frac{8}{4 - 3 x}}$

Passaggio 5.2.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{8 x}{4 - 3 x} \cdot \frac{4 - 3 x}{8}$

Passaggio 5.2.7

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.7.1

Scomponi $8$ da $8 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{8 (x)}{4 - 3 x} \cdot \frac{4 - 3 x}{8}$

Passaggio 5.2.7.2

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{8 x}{4 - 3 x} \cdot \frac{4 - 3 x}{8}$

Passaggio 5.2.7.3

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{x}{4 - 3 x} \cdot (4 - 3 x)$

Passaggio 5.2.8

Elimina il fattore comune di $4 - 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.8.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{x}{4 - 3 x} \cdot (4 - 3 x)$

Passaggio 5.2.8.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\frac{4 x}{2 + 3 x})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{2 (\frac{4 x}{2 + 3 x})}{4 - 3 \frac{4 x}{2 + 3 x}}$

Passaggio 5.3.3

$2$ e $\frac{4 x}{2 + 3 x}$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{4 - 3 \frac{4 x}{2 + 3 x}}$

Passaggio 5.3.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Moltiplica $- 3 \frac{4 x}{2 + 3 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1.1

$- 3$ e $\frac{4 x}{2 + 3 x}$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{4 + \frac{- 3 (4 x)}{2 + 3 x}}$

Passaggio 5.3.4.1.2

Moltiplica $4$ per $- 3$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{4 + \frac{- 12 x}{2 + 3 x}}$

Passaggio 5.3.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{4 - \frac{12 x}{2 + 3 x}}$

Passaggio 5.3.4.3

Per scrivere $4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2 + 3 x}{2 + 3 x}$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{\frac{4 (2 + 3 x)}{2 + 3 x} - \frac{12 x}{2 + 3 x}}$

Passaggio 5.3.4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{\frac{4 (2 + 3 x) - 12 x}{2 + 3 x}}$

Passaggio 5.3.4.5

Riscrivi $\frac{4 (2 + 3 x) - 12 x}{2 + 3 x}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.5.1

Scomponi $4$ da $4 (2 + 3 x) - 12 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.5.1.1

Scomponi $4$ da $- 12 x$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{\frac{4 (2 + 3 x) + 4 (- 3 x)}{2 + 3 x}}$

Passaggio 5.3.4.5.1.2

Scomponi $4$ da $4 (2 + 3 x) + 4 (- 3 x)$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{\frac{4 (2 + 3 x - 3 x)}{2 + 3 x}}$

Passaggio 5.3.4.5.2

Sottrai $3 x$ da $3 x$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{\frac{4 (2 + 0)}{2 + 3 x}}$

Passaggio 5.3.4.5.3

Somma $2$ e $0$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{\frac{4 \cdot 2}{2 + 3 x}}$

Passaggio 5.3.4.6

Moltiplica $4$ per $2$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{\frac{8}{2 + 3 x}}$

Passaggio 5.3.5

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{8 x}{2 + 3 x}}{\frac{8}{2 + 3 x}}$

Passaggio 5.3.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{8 x}{2 + 3 x} \cdot \frac{2 + 3 x}{8}$

Passaggio 5.3.7

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.1

Scomponi $8$ da $8 x$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{8 (x)}{2 + 3 x} \cdot \frac{2 + 3 x}{8}$

Passaggio 5.3.7.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{8 x}{2 + 3 x} \cdot \frac{2 + 3 x}{8}$

Passaggio 5.3.7.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{x}{2 + 3 x} \cdot (2 + 3 x)$

Passaggio 5.3.8

Elimina il fattore comune di $2 + 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.8.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{x}{2 + 3 x} \cdot (2 + 3 x)$

Passaggio 5.3.8.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{4 x}{2 + 3 x}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{2 x}{4 - 3 x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{4 x}{2 + 3 x}$