Precalcolo Esempi

$\frac{x + 3}{4 - \sqrt{x^{2} - 9}}$

Passaggio 1

Imposta il radicando in $\sqrt{x^{2} - 9}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x^{2} - 9 \geq 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Aggiungi $9$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$x^{2} \geq 9$

Passaggio 2.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati della diseguaglianza per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{9}$

Passaggio 2.3

Semplifica l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Estrai i termini dal radicale.

$| x | \geq \sqrt{9}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Semplifica $\sqrt{9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$| x | \geq \sqrt{3^{2}}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Estrai i termini dal radicale.

$| x | \geq | 3 |$

Passaggio 2.3.2.1.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $3$ è $3$ .

$| x | \geq 3$

Passaggio 2.4

Scrivi $| x | \geq 3$ a tratti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Per individuare l'intervallo per la prima parte, trova dove l'interno del valore assoluto è non negativo.

$x \geq 0$

Passaggio 2.4.2

Nella parte in cui $x$ è non negativo, rimuovi il valore assoluto.

$x \geq 3$

Passaggio 2.4.3

Per individuare l'intervallo per la seconda parte, trova dove l'interno del valore assoluto è negativo.

$x < 0$

Passaggio 2.4.4

Nella parte in cui $x$ è negativo, rimuovi il valore assoluto e moltiplica per $- 1$ .

$- x \geq 3$

Passaggio 2.4.5

Scrivi a tratti.

${\begin{cases} x \geq 3 & x \geq 0 \\ - x \geq 3 & x < 0 \end{cases}$

Passaggio 2.5

Trova l'intersezione di $x \geq 3$ e $x \geq 0$ .

$x \geq 3$

Passaggio 2.6

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \geq 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \geq 3$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{3}{- 1}$

Passaggio 2.6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} \leq \frac{3}{- 1}$

Passaggio 2.6.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \leq \frac{3}{- 1}$

Passaggio 2.6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.1

Dividi $3$ per $- 1$ .

$x \leq - 3$

Passaggio 2.7

Trova l'unione delle soluzioni.

$x \leq - 3$ o $x \geq 3$

Passaggio 3

Imposta il denominatore in $\frac{x + 3}{4 - \sqrt{x^{2} - 9}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$4 - \sqrt{x^{2} - 9} = 0$

Passaggio 4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \sqrt{x^{2} - 9} = - 4$

Passaggio 4.2

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${(- \sqrt{x^{2} - 9})}^{2} = {(- 4)}^{2}$

Passaggio 4.3

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{2} - 9}$ come ${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4)}^{2}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica ${(- {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$1 {({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.3

Moltiplica ${({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ per $1$ .

${({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.4

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 4)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.4.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.4.2.1

Elimina il fattore comune.

${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 4)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(x^{2} - 9)}^{1} = {(- 4)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.5

Semplifica.

$x^{2} - 9 = {(- 4)}^{2}$

Passaggio 4.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$x^{2} - 9 = 16$

Passaggio 4.4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.1

Somma $9$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 16 + 9$

Passaggio 4.4.1.2

Somma $16$ e $9$ .

$x^{2} = 25$

Passaggio 4.4.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{25}$

Passaggio 4.4.3

Semplifica $\pm \sqrt{25}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.3.1

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Passaggio 4.4.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 5$

Passaggio 4.4.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 5$

Passaggio 4.4.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 5$

Passaggio 4.4.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 5, - 5$

Passaggio 5

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, - 3] \cup [3, 5) \cup (5, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \leq - 3, x \geq 3, x \neq 5, - 5}$

Passaggio 6