Precalcolo Esempi

$f (x) = {(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = {(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}$ come un'equazione.

$y = {(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = {(\frac{\sqrt[7]{y}}{7})}^{3}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica ${(\frac{\sqrt[7]{y}}{7})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt[7]{y}}{7}$ .

$x = \frac{{\sqrt[7]{y}}^{3}}{7^{3}}$

Passaggio 3.1.2

Riscrivi ${\sqrt[7]{y}}^{3}$ come $\sqrt[7]{y^{3}}$ .

$x = \frac{\sqrt[7]{y^{3}}}{7^{3}}$

Passaggio 3.1.3

Eleva $7$ alla potenza di $3$ .

$x = \frac{\sqrt[7]{y^{3}}}{343}$

Passaggio 3.2

Riscrivi l'equazione come $\frac{\sqrt[7]{y^{3}}}{343} = x$ .

$\frac{\sqrt[7]{y^{3}}}{343} = x$

Passaggio 3.3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[7]{y^{3}}$ come $y^{\frac{3}{7}}$ .

$\frac{y^{\frac{3}{7}}}{343} = x$

Passaggio 3.4

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $343$ .

$343 \frac{y^{\frac{3}{7}}}{343} = 343 x$

Passaggio 3.5

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Elimina il fattore comune di $343$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.1

Elimina il fattore comune.

$343 \frac{y^{\frac{3}{7}}}{343} = 343 x$

Passaggio 3.5.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{\frac{3}{7}} = 343 x$

Passaggio 3.6

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $\frac{7}{3}$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(y^{\frac{3}{7}})}^{\frac{7}{3}} = {(343 x)}^{\frac{7}{3}}$

Passaggio 3.7

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.1

Semplifica ${(y^{\frac{3}{7}})}^{\frac{7}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{\frac{3}{7}})}^{\frac{7}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3}} = {(343 x)}^{\frac{7}{3}}$

Passaggio 3.7.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y^{\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3}} = {(343 x)}^{\frac{7}{3}}$

Passaggio 3.7.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(343 x)}^{\frac{7}{3}}$

Passaggio 3.7.1.1.1.3

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$y^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(343 x)}^{\frac{7}{3}}$

Passaggio 3.7.1.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{1} = {(343 x)}^{\frac{7}{3}}$

Passaggio 3.7.1.1.2

Semplifica.

$y = {(343 x)}^{\frac{7}{3}}$

Passaggio 3.7.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.1

Semplifica ${(343 x)}^{\frac{7}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.1.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $343 x$ .

$y = 343^{\frac{7}{3}} x^{\frac{7}{3}}$

Passaggio 3.7.2.1.1.2

Riscrivi $343$ come $7^{3}$ .

$y = {(7^{3})}^{\frac{7}{3}} x^{\frac{7}{3}}$

Passaggio 3.7.2.1.1.3

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 7^{3 (\frac{7}{3})} x^{\frac{7}{3}}$

Passaggio 3.7.2.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y = 7^{3 (\frac{7}{3})} x^{\frac{7}{3}}$

Passaggio 3.7.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y = 7^{7} x^{\frac{7}{3}}$

Passaggio 3.7.2.1.3

Eleva $7$ alla potenza di $7$ .

$y = 823543 x^{\frac{7}{3}}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = 823543 x^{\frac{7}{3}}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = 823543 x^{\frac{7}{3}}$ è l'inverso di $f (x) = {(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 {({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3})}^{\frac{7}{3}}$

Passaggio 5.2.3

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3})}^{\frac{7}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 {(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3 (\frac{7}{3})}$

Passaggio 5.2.3.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 {(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3 (\frac{7}{3})}$

Passaggio 5.2.3.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 {(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{7}$

Passaggio 5.2.3.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt[7]{x}}{7}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{{\sqrt[7]{x}}^{7}}{7^{7}})$

Passaggio 5.2.4

Riscrivi ${\sqrt[7]{x}}^{7}$ come $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[7]{x}$ come $x^{\frac{1}{7}}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{{(x^{\frac{1}{7}})}^{7}}{7^{7}})$

Passaggio 5.2.4.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{x^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{7^{7}})$

Passaggio 5.2.4.3

$\frac{1}{7}$ e $7$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{x^{\frac{7}{7}}}{7^{7}})$

Passaggio 5.2.4.4

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{x^{\frac{7}{7}}}{7^{7}})$

Passaggio 5.2.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{x}{7^{7}})$

Passaggio 5.2.4.5

Semplifica.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{x}{7^{7}})$

Passaggio 5.2.5

Eleva $7$ alla potenza di $7$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{x}{823543})$

Passaggio 5.2.6

Elimina il fattore comune di $823543$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{x}{823543})$

Passaggio 5.2.6.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (823543 x^{\frac{7}{3}})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (823543 x^{\frac{7}{3}}) = {(\frac{\sqrt[7]{823543 x^{\frac{7}{3}}}}{7})}^{3}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Riscrivi $823543 x^{\frac{7}{3}}$ come ${(7 x^{\frac{1}{3}})}^{7}$ .

$f (823543 x^{\frac{7}{3}}) = {(\frac{\sqrt[7]{{(7 x^{\frac{1}{3}})}^{7}}}{7})}^{3}$

Passaggio 5.3.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$f (823543 x^{\frac{7}{3}}) = {(\frac{7 x^{\frac{1}{3}}}{7})}^{3}$

Passaggio 5.3.4

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (823543 x^{\frac{7}{3}}) = {(\frac{7 x^{\frac{1}{3}}}{7})}^{3}$

Passaggio 5.3.4.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.2.1

Dividi $x^{\frac{1}{3}}$ per $1$ .

$f (823543 x^{\frac{7}{3}}) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Passaggio 5.3.4.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (823543 x^{\frac{7}{3}}) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Passaggio 5.3.4.2.2.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (823543 x^{\frac{7}{3}}) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Passaggio 5.3.4.2.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (823543 x^{\frac{7}{3}}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = 823543 x^{\frac{7}{3}}$ è l'inverso di $f (x) = {(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}$ .

$f^{- 1} (x) = 823543 x^{\frac{7}{3}}$