Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{1 + \sqrt{1 - x}}{\sqrt{4 x - 2 x^{2}}}$

Passaggio 1

Imposta il radicando in $\sqrt{1 - x}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$1 - x \geq 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$- x \geq - 1$

Passaggio 2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \geq - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \geq - 1$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \leq \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$x \leq 1$

Passaggio 3

Imposta il radicando in $\sqrt{4 x - 2 x^{2}}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$4 x - 2 x^{2} \geq 0$

Passaggio 4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$4 x - 2 x^{2} = 0$

Passaggio 4.2

Scomponi $2 x$ da $4 x - 2 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Scomponi $2 x$ da $4 x$ .

$2 x (2) - 2 x^{2} = 0$

Passaggio 4.2.2

Scomponi $2 x$ da $- 2 x^{2}$ .

$2 x (2) + 2 x (- x) = 0$

Passaggio 4.2.3

Scomponi $2 x$ da $2 x (2) + 2 x (- x)$ .

$2 x (2 - x) = 0$

Passaggio 4.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$2 - x = 0$

Passaggio 4.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 4.5

Imposta $2 - x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Imposta $2 - x$ uguale a $0$ .

$2 - x = 0$

Passaggio 4.5.2

Risolvi $2 - x = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 2$

Passaggio 4.5.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 2$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 4.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 4.5.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 4.5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.2.3.1

Dividi $- 2$ per $- 1$ .

$x = 2$

Passaggio 4.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 x (2 - x) = 0$ vera.

$x = 0, 2$

Passaggio 4.7

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

Passaggio 4.8

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1

Testa un valore sull'intervallo $x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 2$

Passaggio 4.8.1.2

Sostituisci $x$ con $- 2$ nella diseguaglianza originale.

$4 (- 2) - 2 {(- 2)}^{2} \geq 0$

Passaggio 4.8.1.3

Il lato sinistro di $- 16$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 4.8.2

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 1$

Passaggio 4.8.2.2

Sostituisci $x$ con $1$ nella diseguaglianza originale.

$4 (1) - 2 {(1)}^{2} \geq 0$

Passaggio 4.8.2.3

Il lato sinistro di $2$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 4.8.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 4.8.3.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$4 (4) - 2 {(4)}^{2} \geq 0$

Passaggio 4.8.3.3

Il lato sinistro di $- 16$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 4.8.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 2$ Vero

$x > 2$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < 2$ Vero

$x > 2$ Falso

Passaggio 4.9

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$0 \leq x \leq 2$

Passaggio 5

Imposta il denominatore in $\frac{1 + \sqrt{1 - x}}{\sqrt{4 x - 2 x^{2}}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\sqrt{4 x - 2 x^{2}} = 0$

Passaggio 6

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{4 x - 2 x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 6.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{4 x - 2 x^{2}}$ come ${(4 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Semplifica ${({(4 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(4 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 6.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(4 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 6.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(4 x - 2 x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Passaggio 6.2.2.1.2

Semplifica.

$4 x - 2 x^{2} = 0^{2}$

Passaggio 6.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$4 x - 2 x^{2} = 0$

Passaggio 6.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1

Sia $u = x$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x$ con $u$ .

$4 u - 2 u^{2} = 0$

Passaggio 6.3.1.2

Scomponi $2 u$ da $4 u - 2 u^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.2.1

Scomponi $2 u$ da $4 u$ .

$2 u (2) - 2 u^{2} = 0$

Passaggio 6.3.1.2.2

Scomponi $2 u$ da $- 2 u^{2}$ .

$2 u (2) + 2 u (- u) = 0$

Passaggio 6.3.1.2.3

Scomponi $2 u$ da $2 u (2) + 2 u (- u)$ .

$2 u (2 - u) = 0$

Passaggio 6.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x$ .

$2 x (2 - x) = 0$

Passaggio 6.3.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$2 - x = 0$

Passaggio 6.3.3

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 6.3.4

Imposta $2 - x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.4.1

Imposta $2 - x$ uguale a $0$ .

$2 - x = 0$

Passaggio 6.3.4.2

Risolvi $2 - x = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.4.2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 2$

Passaggio 6.3.4.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.4.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 2$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 6.3.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.4.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 6.3.4.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 6.3.4.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.4.2.2.3.1

Dividi $- 2$ per $- 1$ .

$x = 2$

Passaggio 6.3.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 x (2 - x) = 0$ vera.

$x = 0, 2$

Passaggio 7

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(0, 1]$

Notazione intensiva:

${x | 0 < x \leq 1}$

Passaggio 8