Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{2 x^{2} + 3 x + 7}{\sqrt{x^{6} + 2}}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{2 x^{2} + 3 x + 7}{\sqrt{x^{6} + 2}}$ è indefinita.

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 2

Si hanno asintoti verticali nelle aree di discontinuità infinita.

Nessun asintoto verticale

Passaggio 3

Calcola $lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 3 x + 7}{\sqrt{x^{6} + 2}}$ per trovare l'asintoto orizzontale.

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Passaggio 3.1

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di $x$ nel denominatore, che è $x^{3} = \sqrt{x^{6}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{3}} + \frac{3 x}{x^{3}} + \frac{7}{x^{3}}}{\sqrt{\frac{x^{6}}{x^{6}} + \frac{2}{x^{6}}}}$

Passaggio 3.2

Calcola il limite.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}{\sqrt{\frac{x^{6}}{x^{6}} + \frac{2}{x^{6}}}}$

Passaggio 3.2.2

Elimina il fattore comune di $x^{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}{\sqrt{\frac{x^{6}}{x^{6}} + \frac{2}{x^{6}}}}$

Passaggio 3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}{\sqrt{1 + \frac{2}{x^{6}}}}$

Passaggio 3.2.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{2}{x^{6}}}}$

Passaggio 3.2.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{2}{x^{6}}}}$

Passaggio 3.2.5

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{2}{x^{6}}}}$

Passaggio 3.3

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{2}{x^{6}}}}$

Passaggio 3.4

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{2}{x^{6}}}}$

Passaggio 3.5

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x^{2}}$ tende a $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{2}{x^{6}}}}$

Passaggio 3.6

Sposta il termine $7$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{2}{x^{6}}}}$

Passaggio 3.7

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x^{3}}$ tende a $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 7 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{2}{x^{6}}}}$

Passaggio 3.8

Calcola il limite.

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Passaggio 3.8.1

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 7 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x^{6}}}}$

Passaggio 3.8.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 7 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{6}}}}$

Passaggio 3.8.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 7 \cdot 0}{\sqrt{1 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{6}}}}$

Passaggio 3.8.4

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 7 \cdot 0}{\sqrt{1 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{6}}}}$

Passaggio 3.9

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x^{6}}$ tende a $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 7 \cdot 0}{\sqrt{1 + 2 \cdot 0}}$

Passaggio 3.10

Semplifica la risposta.

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Passaggio 3.10.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.10.1.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{0 + 3 \cdot 0 + 7 \cdot 0}{\sqrt{1 + 2 \cdot 0}}$

Passaggio 3.10.1.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{0 + 0 + 7 \cdot 0}{\sqrt{1 + 2 \cdot 0}}$

Passaggio 3.10.1.3

Moltiplica $7$ per $0$ .

$\frac{0 + 0 + 0}{\sqrt{1 + 2 \cdot 0}}$

Passaggio 3.10.1.4

Somma $0 + 0$ e $0$ .

$\frac{0 + 0}{\sqrt{1 + 2 \cdot 0}}$

Passaggio 3.10.1.5

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{0}{\sqrt{1 + 2 \cdot 0}}$

Passaggio 3.10.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.10.2.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{0}{\sqrt{1 + 0}}$

Passaggio 3.10.2.2

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{0}{\sqrt{1}}$

Passaggio 3.10.2.3

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\frac{0}{1}$

Passaggio 3.10.3

Dividi $0$ per $1$ .

$0$

Passaggio 4

Elenca gli asintoti orizzontali:

$y = 0$

Passaggio 5

Per trovare gli asintoti obliqui devi utilizzare la divisione di polinomi. Dal momento che l'espressione contiene un radicale, non è possibile eseguire la divisione di polinomi.

Impossibile trovare asintoti obliqui

Passaggio 6

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Nessun asintoto verticale

Asintoti orizzontali: $y = 0$

Impossibile trovare asintoti obliqui

Passaggio 7