Precalcolo Esempi

$- 12 - 4 - \frac{4}{3} - \dots - \frac{4}{243}$

Passaggio 1

Questa è una progressione geometrica poiché c'è un rapporto costante tra ogni termine e quello che lo precede. In questo caso, moltiplicando per $\frac{1}{3}$ un termine si ottiene il termine successivo. In altre parole, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Progressione geometrica: $r = \frac{1}{3}$

Passaggio 2

Usa la formula della progressione geometrica $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ per trovare il numero di termini, $n$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci i valori del primo termine, dell'ultimo termine e del rapporto tra i termini nella formula.

$\frac{4}{243} = 12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

Passaggio 2.2

Risolvi per $n$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Riscrivi l'equazione come $12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{4}{243}$ .

$12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{4}{243}$

Passaggio 2.2.2

Dividi per $12$ ciascun termine in $12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{4}{243}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Dividi per $12$ ciascun termine in $12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{4}{243}$ .

$\frac{12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}}{12} = \frac{\frac{4}{243}}{12}$

Passaggio 2.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}}{12} = \frac{\frac{4}{243}}{12}$

Passaggio 2.2.2.2.1.2

Dividi ${(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ per $1$ .

${(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{\frac{4}{243}}{12}$

Passaggio 2.2.2.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}} = \frac{\frac{4}{243}}{12}$

Passaggio 2.2.2.2.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{\frac{4}{243}}{12}$

Passaggio 2.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{4}{243} \cdot \frac{1}{12}$

Passaggio 2.2.2.3.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.3.2.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{4}{243} \cdot \frac{1}{4 (3)}$

Passaggio 2.2.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{4}{243} \cdot \frac{1}{4 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{1}{243} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 2.2.2.3.3

Moltiplica $\frac{1}{243}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{1}{243 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.2.3.4

Moltiplica $243$ per $3$ .

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{1}{729}$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica ogni lato per $3^{n - 1}$ .

$\frac{1}{3^{n - 1}} \cdot 3^{n - 1} = \frac{1}{729} \cdot 3^{n - 1}$

Passaggio 2.2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1.1

Elimina il fattore comune di $3^{n - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{3^{n - 1}} \cdot 3^{n - 1} = \frac{1}{729} \cdot 3^{n - 1}$

Passaggio 2.2.4.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \frac{1}{729} \cdot 3^{n - 1}$

Passaggio 2.2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.2.1

$\frac{1}{729}$ e $3^{n - 1}$ .

$1 = \frac{3^{n - 1}}{729}$

Passaggio 2.2.5

Risolvi per $n$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{3^{n - 1}}{729} = 1$ .

$\frac{3^{n - 1}}{729} = 1$

Passaggio 2.2.5.2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $729$ .

$729 \frac{3^{n - 1}}{729} = 729 \cdot 1$

Passaggio 2.2.5.3

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1.1

Elimina il fattore comune di $729$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$729 \frac{3^{n - 1}}{729} = 729 \cdot 1$

Passaggio 2.2.5.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$3^{n - 1} = 729 \cdot 1$

Passaggio 2.2.5.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.2.1

Moltiplica $729$ per $1$ .

$3^{n - 1} = 729$

Passaggio 2.2.5.4

Crea nell'equazione espressioni equivalenti che hanno tutte basi uguali.

$3^{n - 1} = 3^{6}$

Passaggio 2.2.5.5

Poiché le basi sono uguali, allora due espressioni sono uguali solo se anche gli esponenti sono uguali.

$n - 1 = 6$

Passaggio 2.2.5.6

Sposta tutti i termini non contenenti $n$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.6.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$n = 6 + 1$

Passaggio 2.2.5.6.2

Somma $6$ e $1$ .

$n = 7$

Passaggio 3

Usa la formula della somma di una progressione geometrica $S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$ per trovare la somma.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci i valori del primo termine, del rapporto e il numero di termini nella formula della somma.

$S_{n} = \frac{- 12 ({(\frac{1}{3})}^{7} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3}$ .

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{1^{7}}{3^{7}} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 3.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{1}{3^{7}} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 3.2.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $7$ .

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{1}{2187} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 3.2.1.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2187}{2187}$ .

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{1}{2187} - 1 \cdot \frac{2187}{2187})}{\frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 3.2.1.5

$- 1$ e $\frac{2187}{2187}$ .

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{1}{2187} + \frac{- 1 \cdot 2187}{2187})}{\frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 3.2.1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$S_{n} = \frac{- 12 \frac{1 - 1 \cdot 2187}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 3.2.1.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2187$ .

$S_{n} = \frac{- 12 \frac{1 - 2187}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 3.2.1.7.2

Sottrai $2187$ da $1$ .

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{- 2186}{2187})}{\frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 3.2.1.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$S_{n} = \frac{- 12 \cdot - 1 \frac{2186}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 3.2.1.9

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.9.1

Metti in evidenza il valore negativo.

$S_{n} = \frac{- (- 12 (\frac{2186}{2187}))}{\frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 3.2.1.9.2

$- 12$ e $\frac{2186}{2187}$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{- 12 \cdot 2186}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 3.2.1.9.3

Moltiplica $- 12$ per $2186$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{- 26232}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 3.2.1.10

Elimina il fattore comune di $- 26232$ e $2187$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.10.1

Scomponi $3$ da $- 26232$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{3 (- 8744)}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 3.2.1.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.10.2.1

Scomponi $3$ da $2187$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{3 \cdot - 8744}{3 \cdot 729}}{\frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 3.2.1.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$S_{n} = \frac{- \frac{3 \cdot - 8744}{3 \cdot 729}}{\frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 3.2.1.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$S_{n} = \frac{- \frac{- 8744}{729}}{\frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 3.2.1.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$S_{n} = \frac{- - 1 \frac{8744}{729}}{\frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 3.2.1.12

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.12.1

Metti in evidenza il valore negativo.

$S_{n} = \frac{- - \frac{8744}{729}}{\frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 3.2.1.12.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$S_{n} = \frac{1 (\frac{8744}{729})}{\frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 3.2.1.12.3

Moltiplica $\frac{8744}{729}$ per $1$ .

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Passaggio 3.2.2.2

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Passaggio 3.2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}$

Passaggio 3.2.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.4.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{1 - 3}{3}}$

Passaggio 3.2.2.4.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{- 2}{3}}$

Passaggio 3.2.2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{- \frac{2}{3}}$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$S_{n} = \frac{8744}{729} (- \frac{3}{2})$

Passaggio 3.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{3}{2}$ nel numeratore.

$S_{n} = \frac{8744}{729} \cdot \frac{- 3}{2}$

Passaggio 3.2.4.2

Scomponi $2$ da $8744$ .

$S_{n} = \frac{2 (4372)}{729} \cdot \frac{- 3}{2}$

Passaggio 3.2.4.3

Elimina il fattore comune.

$S_{n} = \frac{2 \cdot 4372}{729} \cdot \frac{- 3}{2}$

Passaggio 3.2.4.4

Riscrivi l'espressione.

$S_{n} = \frac{4372}{729} \cdot - 3$

Passaggio 3.2.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

Scomponi $3$ da $729$ .

$S_{n} = \frac{4372}{3 (243)} \cdot - 3$

Passaggio 3.2.5.2

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$S_{n} = \frac{4372}{3 \cdot 243} \cdot (3 \cdot - 1)$

Passaggio 3.2.5.3

Elimina il fattore comune.

$S_{n} = \frac{4372}{3 \cdot 243} \cdot (3 \cdot - 1)$

Passaggio 3.2.5.4

Riscrivi l'espressione.

$S_{n} = \frac{4372}{243} \cdot - 1$

Passaggio 3.2.6

$\frac{4372}{243}$ e $- 1$ .

$S_{n} = \frac{4372 \cdot - 1}{243}$

Passaggio 3.2.7

Moltiplica $4372$ per $- 1$ .

$S_{n} = \frac{- 4372}{243}$

Passaggio 3.2.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$S_{n} = - \frac{4372}{243}$