Precalcolo Esempi

$f (x) = 5 x^{3} + 5$ ; find $f^{- 1} (x)$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = 5 x^{3} + 5$ come un'equazione.

$y = 5 x^{3} + 5$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = 5 y^{3} + 5$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $5 y^{3} + 5 = x$ .

$5 y^{3} + 5 = x$

Passaggio 3.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$5 y^{3} = x - 5$

Passaggio 3.3

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 y^{3} = x - 5$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 y^{3} = x - 5$ .

$\frac{5 y^{3}}{5} = \frac{x}{5} + \frac{- 5}{5}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 y^{3}}{5} = \frac{x}{5} + \frac{- 5}{5}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Dividi $y^{3}$ per $1$ .

$y^{3} = \frac{x}{5} + \frac{- 5}{5}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Dividi $- 5$ per $5$ .

$y^{3} = \frac{x}{5} - 1$

Passaggio 3.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{5} - 1}$

Passaggio 3.5

Semplifica $\sqrt[3]{\frac{x}{5} - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}$

Passaggio 3.5.2

$- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}$

Passaggio 3.5.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \sqrt[3]{\frac{x - 1 \cdot 5}{5}}$

Passaggio 3.5.4

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x - 5}{5}}$

Passaggio 3.5.5

Riscrivi $\sqrt[3]{\frac{x - 5}{5}}$ come $\frac{\sqrt[3]{x - 5}}{\sqrt[3]{5}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5}}{\sqrt[3]{5}}$

Passaggio 3.5.6

Moltiplica $\frac{\sqrt[3]{x - 5}}{\sqrt[3]{5}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5}}{\sqrt[3]{5}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Passaggio 3.5.7

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.1

Moltiplica $\frac{\sqrt[3]{x - 5}}{\sqrt[3]{5}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{\sqrt[3]{5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Passaggio 3.5.7.2

Eleva $\sqrt[3]{5}$ alla potenza di $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{1} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Passaggio 3.5.7.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{1 + 2}}$

Passaggio 3.5.7.4

Somma $1$ e $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{3}}$

Passaggio 3.5.7.5

Riscrivi ${\sqrt[3]{5}}^{3}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{5}$ come $5^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{(5^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Passaggio 3.5.7.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Passaggio 3.5.7.5.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 3.5.7.5.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 3.5.7.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{1}}$

Passaggio 3.5.7.5.5

Calcola l'esponente.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5}$

Passaggio 3.5.8

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.5.8.1

Riscrivi ${\sqrt[3]{5}}^{2}$ come $\sqrt[3]{5^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} \sqrt[3]{5^{2}}}{5}$

Passaggio 3.5.8.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} \sqrt[3]{25}}{5}$

Passaggio 3.5.9

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.9.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x - 5) \cdot 25}}{5}$

Passaggio 3.5.9.2

Riordina i fattori in $\frac{\sqrt[3]{(x - 5) \cdot 25}}{5}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}$ è l'inverso di $f (x) = 5 x^{3} + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

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Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (5 x^{3} + 5)$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (5 x^{3} + 5) = \frac{\sqrt[3]{25 ((5 x^{3} + 5) - 5)}}{5}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Sottrai $5$ da $5$ .

$f^{- 1} (5 x^{3} + 5) = \frac{\sqrt[3]{25 (5 x^{3} + 0)}}{5}$

Passaggio 5.2.3.2

Somma $5 x^{3}$ e $0$ .

$f^{- 1} (5 x^{3} + 5) = \frac{\sqrt[3]{25 \cdot (5 x^{3})}}{5}$

Passaggio 5.2.3.3

Moltiplica $25$ per $5$ .

$f^{- 1} (5 x^{3} + 5) = \frac{\sqrt[3]{125 x^{3}}}{5}$

Passaggio 5.2.3.4

Riscrivi $125 x^{3}$ come ${(5 x)}^{3}$ .

$f^{- 1} (5 x^{3} + 5) = \frac{\sqrt[3]{{(5 x)}^{3}}}{5}$

Passaggio 5.2.3.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$f^{- 1} (5 x^{3} + 5) = \frac{5 x}{5}$

Passaggio 5.2.4

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (5 x^{3} + 5) = \frac{5 x}{5}$

Passaggio 5.2.4.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f^{- 1} (5 x^{3} + 5) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 {(\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5})}^{3} + 5$

Passaggio 5.3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}^{3}}{5^{3}}) + 5$

Passaggio 5.3.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1

Riscrivi ${\sqrt[3]{25 (x - 5)}}^{3}$ come $25 (x - 5)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{25 (x - 5)}$ come ${(25 (x - 5))}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{{({(25 (x - 5))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{5^{3}}) + 5$

Passaggio 5.3.3.2.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{{(25 (x - 5))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{5^{3}}) + 5$

Passaggio 5.3.3.2.1.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{{(25 (x - 5))}^{\frac{3}{3}}}{5^{3}}) + 5$

Passaggio 5.3.3.2.1.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{{(25 (x - 5))}^{\frac{3}{3}}}{5^{3}}) + 5$

Passaggio 5.3.3.2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 5)}{5^{3}}) + 5$

Passaggio 5.3.3.2.1.5

Semplifica.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 5)}{5^{3}}) + 5$

Passaggio 5.3.3.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 x + 25 \cdot - 5}{5^{3}}) + 5$

Passaggio 5.3.3.2.3

Moltiplica $25$ per $- 5$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 x - 125}{5^{3}}) + 5$

Passaggio 5.3.3.2.4

Scomponi $25$ da $25 x - 125$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.4.1

Scomponi $25$ da $25 x$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x) - 125}{5^{3}}) + 5$

Passaggio 5.3.3.2.4.2

Scomponi $25$ da $- 125$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 x + 25 \cdot - 5}{5^{3}}) + 5$

Passaggio 5.3.3.2.4.3

Scomponi $25$ da $25 x + 25 \cdot - 5$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 5)}{5^{3}}) + 5$

Passaggio 5.3.3.3

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 5)}{125}) + 5$

Passaggio 5.3.3.4

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.4.1

Scomponi $5$ da $125$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 5)}{5 (25)}) + 5$

Passaggio 5.3.3.4.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 5)}{5 \cdot 25}) + 5$

Passaggio 5.3.3.4.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = \frac{25 (x - 5)}{25} + 5$

Passaggio 5.3.3.5

Elimina il fattore comune di $25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.5.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = \frac{25 (x - 5)}{25} + 5$

Passaggio 5.3.3.5.2

Dividi $x - 5$ per $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = x - 5 + 5$

Passaggio 5.3.4

Combina i termini opposti in $x - 5 + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Somma $- 5$ e $5$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = x + 0$

Passaggio 5.3.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}$ è l'inverso di $f (x) = 5 x^{3} + 5$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}$