Precalcolo Esempi

$\frac{\sqrt{x^{2} - 81}}{(x + 12) (x - 4)}$

Passaggio 1

Imposta il radicando in $\sqrt{x^{2} - 81}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x^{2} - 81 \geq 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.1

Aggiungi $81$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$x^{2} \geq 81$

Passaggio 2.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati della diseguaglianza per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{81}$

Passaggio 2.3

Semplifica l'equazione.

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Passaggio 2.3.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.3.1.1

Estrai i termini dal radicale.

$| x | \geq \sqrt{81}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.3.2.1

Semplifica $\sqrt{81}$ .

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Passaggio 2.3.2.1.1

Riscrivi $81$ come $9^{2}$ .

$| x | \geq \sqrt{9^{2}}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Estrai i termini dal radicale.

$| x | \geq | 9 |$

Passaggio 2.3.2.1.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $9$ è $9$ .

$| x | \geq 9$

Passaggio 2.4

Scrivi $| x | \geq 9$ a tratti.

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Passaggio 2.4.1

Per individuare l'intervallo per la prima parte, trova dove l'interno del valore assoluto è non negativo.

$x \geq 0$

Passaggio 2.4.2

Nella parte in cui $x$ è non negativo, rimuovi il valore assoluto.

$x \geq 9$

Passaggio 2.4.3

Per individuare l'intervallo per la seconda parte, trova dove l'interno del valore assoluto è negativo.

$x < 0$

Passaggio 2.4.4

Nella parte in cui $x$ è negativo, rimuovi il valore assoluto e moltiplica per $- 1$ .

$- x \geq 9$

Passaggio 2.4.5

Scrivi a tratti.

${\begin{cases} x \geq 9 & x \geq 0 \\ - x \geq 9 & x < 0 \end{cases}$

Passaggio 2.5

Trova l'intersezione di $x \geq 9$ e $x \geq 0$ .

$x \geq 9$

Passaggio 2.6

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \geq 9$ e semplifica.

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Passaggio 2.6.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \geq 9$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{9}{- 1}$

Passaggio 2.6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} \leq \frac{9}{- 1}$

Passaggio 2.6.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \leq \frac{9}{- 1}$

Passaggio 2.6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.1

Dividi $9$ per $- 1$ .

$x \leq - 9$

Passaggio 2.7

Trova l'unione delle soluzioni.

$x \leq - 9$ o $x \geq 9$

Passaggio 3

Imposta il denominatore in $\frac{\sqrt{x^{2} - 81}}{(x + 12) (x - 4)}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$(x + 12) (x - 4) = 0$

Passaggio 4

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 12 = 0$

$x - 4 = 0$

Passaggio 4.2

Imposta $x + 12$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.2.1

Imposta $x + 12$ uguale a $0$ .

$x + 12 = 0$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $12$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 12$

Passaggio 4.3

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.3.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 4.3.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 4.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 12) (x - 4) = 0$ vera.

$x = - 12, 4$

Passaggio 5

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 12) \cup (- 12, - 9] \cup [9, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \leq - 9, x \geq 9, x \neq - 12}$

Passaggio 6