Precalcolo Esempi

$\frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} - a + a b - b}$

Passaggio 1

Imposta il denominatore in $\frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} - a + a b - b}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$a^{2} - a + a b - b = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 1 + b$ e $c = - b$ nella formula quadratica e risolvi per $a$ .

$\frac{- (- 1 + b) \pm \sqrt{{(- 1 + b)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- b))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(- 1 + b)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(- 1 + b)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.1.3

Riscrivi ${(- 1 + b)}^{2}$ come $(- 1 + b) (- 1 + b)$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{(- 1 + b) (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.1.4

Espandi $(- 1 + b) (- 1 + b)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 (- 1 + b) + b (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.1.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 b + b (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.1.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.1.5

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.5.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 1 b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.1.5.1.2

Riscrivi $- 1 b$ come $- b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.1.5.1.3

Sposta $- 1$ alla sinistra di $b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - 1 \cdot b + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.1.5.1.4

Riscrivi $- 1 b$ come $- b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - b + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.1.5.1.5

Moltiplica $b$ per $b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - b + b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.1.5.2

Sottrai $b$ da $- b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.1.6

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.6.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} - 4 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.1.6.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} + 4 b}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.1.7

Somma $- 2 b$ e $4 b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 + b^{2} + 2 b}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.1.8

Riordina i termini.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 b + 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.1.9

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.9.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 b + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.1.9.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 b = 2 \cdot b \cdot 1$

Passaggio 2.3.1.9.3

Riscrivi il polinomio.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 \cdot b \cdot 1 + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.1.9.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = b$ e $b = 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(b + 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.1.10

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$a = \frac{1 - b \pm (b + 1)}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$a = \frac{1 - b \pm (b + 1)}{2}$

Passaggio 2.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(- 1 + b)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(- 1 + b)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.1.3

Riscrivi ${(- 1 + b)}^{2}$ come $(- 1 + b) (- 1 + b)$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{(- 1 + b) (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.1.4

Espandi $(- 1 + b) (- 1 + b)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 (- 1 + b) + b (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.1.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 b + b (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.1.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.1.5

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.5.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 1 b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.1.5.1.2

Riscrivi $- 1 b$ come $- b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.1.5.1.3

Sposta $- 1$ alla sinistra di $b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - 1 \cdot b + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.1.5.1.4

Riscrivi $- 1 b$ come $- b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - b + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.1.5.1.5

Moltiplica $b$ per $b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - b + b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.1.5.2

Sottrai $b$ da $- b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.1.6

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.6.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} - 4 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.1.6.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} + 4 b}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.1.7

Somma $- 2 b$ e $4 b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 + b^{2} + 2 b}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.1.8

Riordina i termini.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 b + 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.1.9

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.9.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 b + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.1.9.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 b = 2 \cdot b \cdot 1$

Passaggio 2.4.1.9.3

Riscrivi il polinomio.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 \cdot b \cdot 1 + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.1.9.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = b$ e $b = 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(b + 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.1.10

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$a = \frac{1 - b \pm (b + 1)}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$a = \frac{1 - b \pm (b + 1)}{2}$

Passaggio 2.4.3

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$a = \frac{1 - b + b + 1}{2}$

Passaggio 2.4.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.1

Somma $1$ e $1$ .

$a = \frac{- b + b + 2}{2}$

Passaggio 2.4.4.2

Somma $- b$ e $b$ .

$a = \frac{0 + 2}{2}$

Passaggio 2.4.4.3

Somma $0$ e $2$ .

$a = \frac{2}{2}$

Passaggio 2.4.5

Dividi $2$ per $2$ .

$a = 1$

Passaggio 2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(- 1 + b)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(- 1 + b)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.1.3

Riscrivi ${(- 1 + b)}^{2}$ come $(- 1 + b) (- 1 + b)$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{(- 1 + b) (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.1.4

Espandi $(- 1 + b) (- 1 + b)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 (- 1 + b) + b (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.1.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 b + b (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.1.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.1.5

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.5.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 1 b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.1.5.1.2

Riscrivi $- 1 b$ come $- b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.1.5.1.3

Sposta $- 1$ alla sinistra di $b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - 1 \cdot b + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.1.5.1.4

Riscrivi $- 1 b$ come $- b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - b + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.1.5.1.5

Moltiplica $b$ per $b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - b + b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.1.5.2

Sottrai $b$ da $- b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.1.6

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.6.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} - 4 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.1.6.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} + 4 b}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.1.7

Somma $- 2 b$ e $4 b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 + b^{2} + 2 b}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.1.8

Riordina i termini.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 b + 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.1.9

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.9.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 b + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.1.9.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 b = 2 \cdot b \cdot 1$

Passaggio 2.5.1.9.3

Riscrivi il polinomio.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 \cdot b \cdot 1 + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.1.9.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = b$ e $b = 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(b + 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.1.10

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$a = \frac{1 - b \pm (b + 1)}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$a = \frac{1 - b \pm (b + 1)}{2}$

Passaggio 2.5.3

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$a = \frac{1 - b - (b + 1)}{2}$

Passaggio 2.5.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$a = \frac{1 - b - b - 1 \cdot 1}{2}$

Passaggio 2.5.4.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$a = \frac{1 - b - b - 1}{2}$

Passaggio 2.5.4.3

Sottrai $1$ da $1$ .

$a = \frac{- b - b + 0}{2}$

Passaggio 2.5.4.4

Somma $- b - b$ e $0$ .

$a = \frac{- b - b}{2}$

Passaggio 2.5.4.5

Sottrai $b$ da $- b$ .

$a = \frac{- 2 b}{2}$

Passaggio 2.5.5

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.1

Scomponi $2$ da $- 2 b$ .

$a = \frac{2 (- b)}{2}$

Passaggio 2.5.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$a = \frac{2 (- b)}{2 (1)}$

Passaggio 2.5.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$a = \frac{2 (- b)}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$a = \frac{- b}{1}$

Passaggio 2.5.5.2.4

Dividi $- b$ per $1$ .

$a = - b$

Passaggio 2.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$a = 1$

$a = - b$

$a = 1$

$a = - b$

Passaggio 3

Il dominio è formato da tutti i valori di $a$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Notazione intensiva:

${a | a \neq 1}$