Precalcolo Esempi

$f (x) = \sqrt[4]{x + 6}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \sqrt[4]{x + 6}$ come un'equazione.

$y = \sqrt[4]{x + 6}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \sqrt[4]{y + 6}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\sqrt[4]{y + 6} = x$ .

$\sqrt[4]{y + 6} = x$

Passaggio 3.2

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva entrambi i lati dell'equazione alla $4$ potenza.

${\sqrt[4]{y + 6}}^{4} = x^{4}$

Passaggio 3.3

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[4]{y + 6}$ come ${(y + 6)}^{\frac{1}{4}}$ .

${({(y + 6)}^{\frac{1}{4}})}^{4} = x^{4}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ${({(y + 6)}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(y + 6)}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 6)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = x^{4}$

Passaggio 3.3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(y + 6)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = x^{4}$

Passaggio 3.3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(y + 6)}^{1} = x^{4}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Semplifica.

$y + 6 = x^{4}$

Passaggio 3.4

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = x^{4} - 6$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = x^{4} - 6$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = x^{4} - 6$ è l'inverso di $f (x) = \sqrt[4]{x + 6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

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Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\sqrt[4]{x + 6})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x + 6}) = {(\sqrt[4]{x + 6})}^{4} - 6$

Passaggio 5.2.3

Riscrivi ${\sqrt[4]{x + 6}}^{4}$ come $x + 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[4]{x + 6}$ come ${(x + 6)}^{\frac{1}{4}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x + 6}) = {({(x + 6)}^{\frac{1}{4}})}^{4} - 6$

Passaggio 5.2.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x + 6}) = {(x + 6)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} - 6$

Passaggio 5.2.3.3

$\frac{1}{4}$ e $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x + 6}) = {(x + 6)}^{\frac{4}{4}} - 6$

Passaggio 5.2.3.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x + 6}) = {(x + 6)}^{\frac{4}{4}} - 6$

Passaggio 5.2.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x + 6}) = (x + 6) - 6$

Passaggio 5.2.3.5

Semplifica.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x + 6}) = x + 6 - 6$

Passaggio 5.2.4

Combina i termini opposti in $x + 6 - 6$ .

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Passaggio 5.2.4.1

Sottrai $6$ da $6$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x + 6}) = x + 0$

Passaggio 5.2.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x + 6}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

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Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (x^{4} - 6)$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (x^{4} - 6) = \sqrt[4]{(x^{4} - 6) + 6}$

Passaggio 5.3.3

Somma $- 6$ e $6$ .

$f (x^{4} - 6) = \sqrt[4]{x^{4} + 0}$

Passaggio 5.3.4

Somma $x^{4}$ e $0$ .

$f (x^{4} - 6) = \sqrt[4]{x^{4}}$

Passaggio 5.3.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (x^{4} - 6) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = x^{4} - 6$ è l'inverso di $f (x) = \sqrt[4]{x + 6}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{4} - 6$